Theorem cosneg 11737

Description: The cosines of a number and its negative are the same. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cosneg	|- ( A e. CC -> ( cos ` -u A ) = ( cos ` A ) )

Proof of Theorem cosneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7908	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
2		mulneg12 8356	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) = ( _i x. -u A ) )
3	1, 2	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) = ( _i x. -u A ) )
4	3	eqcomd 2183	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u A ) = ( -u _i x. A ) )
5	4	fveq2d 5521	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. -u A ) ) = ( exp ` ( -u _i x. A ) ) )
6		mul2neg 8357	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. -u A ) = ( _i x. A ) )
7	1, 6	mpan 424	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. -u A ) = ( _i x. A ) )
8	7	fveq2d 5521	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. -u A ) ) = ( exp ` ( _i x. A ) ) )
9	5, 8	oveq12d 5895	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. -u A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. -u A ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) + ( exp ` ( _i x. A ) ) ) )
10		negicn 8160	. . . . . . 7 |- -u _i e. CC
11		mulcl 7940	. . . . . . 7 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
12	10, 11	mpan 424	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
13		efcl 11674	. . . . . 6 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) e. CC )
15		mulcl 7940	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
16	1, 15	mpan 424	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
17		efcl 11674	. . . . . 6 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC )
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC )
19	14, 18	addcomd 8110	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) + ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) )
20	9, 19	eqtrd 2210	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. -u A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. -u A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) )
21	20	oveq1d 5892	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. -u A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. -u A ) ) ) / 2 ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / 2 ) )
22		negcl 8159	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
23		cosval 11713	. . 3 |- ( -u A e. CC -> ( cos ` -u A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. -u A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. -u A ) ) ) / 2 ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( cos ` -u A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. -u A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. -u A ) ) ) / 2 ) )
25		cosval 11713	. 2 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / 2 ) )
26	21, 24, 25	3eqtr4d 2220	1 |- ( A e. CC -> ( cos ` -u A ) = ( cos ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   _ici 7815   + caddc 7816   x. cmul 7818   -ucneg 8131   / cdiv 8631   2c2 8972   expce 11652   cosccos 11655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-cos 11661

This theorem is referenced by:  tannegap  11738  efmival  11743  sinsub  11750  cossub  11751  sincossq  11758  cosneghalfpi  14304  cos2pim  14320  ptolemy  14330  coseq0negpitopi  14342  cosq34lt1  14356