ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanap2ad Unicode version

Theorem mulcanap2ad 8445
Description: Cancellation of a nonzero factor on the right in an equation. One-way deduction form of mulcanap2d 8443. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcanapad.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulcanapad.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulcanapad.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mulcanapad.4  |-  ( ph  ->  C #  0 )
mulcanap2ad.5  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  =  ( B  x.  C ) )
Assertion
Ref Expression
mulcanap2ad  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem mulcanap2ad
StepHypRef Expression
1 mulcanap2ad.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  =  ( B  x.  C ) )
2 mulcanapad.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 mulcanapad.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 mulcanapad.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 mulcanapad.4 . . 3  |-  ( ph  ->  C #  0 )
62, 3, 4, 5mulcanap2d 8443 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  =  ( B  x.  C )  <-> 
A  =  B ) )
71, 6mpbid 146 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1332    e. wcel 1481   class class class wbr 3933  (class class class)co 5778   CCcc 7638   0cc0 7640    x. cmul 7645   # cap 8363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364
This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  8992  lcmid  11788
  Copyright terms: Public domain W3C validator