Theorem neg1lt0 9239

Description: -1 is less than 0 (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
neg1lt0	|- -u 1 < 0

Proof of Theorem neg1lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg0 8413	. . 3 |- -u 0 = 0
2		0lt1 8294	. . 3 |- 0 < 1
3	1, 2	eqbrtri 4105	. 2 |- -u 0 < 1
4		1re 8166	. . 3 |- 1 e. RR
5		0re 8167	. . 3 |- 0 e. RR
6	4, 5	ltnegcon1i 8667	. 2 |- ( -u 1 < 0 <-> -u 0 < 1 )
7	3, 6	mpbir 146	1 |- -u 1 < 0

Syntax hints:   class class class wbr 4084   0cc0 8020   1c1 8021   < clt 8202   -ucneg 8339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-ltxr 8207  df-sub 8340  df-neg 8341

This theorem is referenced by:  xnn0nnen  10687  lgsdir2lem3  15746  apdiff  16562