ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Unicode version

Theorem lgsdir2lem3 14002
Description: Lemma for lgsdir2 14005. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  A  e.  ZZ )
2 8nn 9059 . . . 4  |-  8  e.  NN
3 zmodfz 10316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  8  e.  NN )  ->  ( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
41, 2, 3sylancl 413 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
5 8m1e7 9017 . . . 4  |-  ( 8  -  1 )  =  7
65oveq2i 5876 . . 3  |-  ( 0 ... ( 8  -  1 ) )  =  ( 0 ... 7
)
74, 6eleqtrdi 2268 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7 ) )
8 neg1z 9258 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
9 z0even 11883 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  0
10 1pneg1e0 9003 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
11 ax-1cn 7879 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
12 neg1cn 8997 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
1311, 12addcomi 8075 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  ( -u 1  +  1 )
1410, 13eqtr3i 2198 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( -u 1  +  1 )
159, 14breqtri 4023 . . . . . . . 8  |-  2  ||  ( -u 1  +  1 )
16 noel 3424 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( A  mod  8 )  e.  (/)
1716pm2.21i 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  (/)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
18 neg1lt0 9000 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  <  0
19 0z 9237 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
20 fzn 10012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) ) )
2119, 8, 20mp2an 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) )
2218, 21mpbi 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... -u 1 )  =  (/)
2317, 22eleq2s 2270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
2423a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
258, 15, 243pm3.2i 1175 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( -u 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  (
( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
26 1e0p1 9398 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
27 ssun1 3296 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  7 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
28 1ex 7927 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
2928prid1 3695 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 ,  7 }
3027, 29sselii 3150 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
3125, 14, 26, 30lgsdir2lem2 14001 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
32 df-2 8951 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
33 df-3 8952 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
34 ssun2 3297 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  5 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
35 3ex 8968 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
3635prid1 3695 . . . . . . 7  |-  3  e.  { 3 ,  5 }
3734, 36sselii 3150 . . . . . 6  |-  3  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
3831, 32, 33, 37lgsdir2lem2 14001 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 3  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
39 df-4 8953 . . . . 5  |-  4  =  ( 3  +  1 )
40 df-5 8954 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
41 5nn 9056 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
4241elexi 2747 . . . . . . 7  |-  5  e.  _V
4342prid2 3696 . . . . . 6  |-  5  e.  { 3 ,  5 }
4434, 43sselii 3150 . . . . 5  |-  5  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 14001 . . . 4  |-  ( 5  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 5  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 5
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
46 df-6 8955 . . . 4  |-  6  =  ( 5  +  1 )
47 df-7 8956 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
48 7nn 9058 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN
4948elexi 2747 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
5049prid2 3696 . . . . 5  |-  7  e.  { 1 ,  7 }
5127, 50sselii 3150 . . . 4  |-  7  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 14001 . . 3  |-  ( 7  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 7  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
5352simp3i 1008 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
547, 53mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2146    u. cun 3125   (/)c0 3420   {cpr 3590   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787    + caddc 7789    < clt 7966    - cmin 8102   -ucneg 8103   NNcn 8892   2c2 8943   3c3 8944   4c4 8945   5c5 8946   6c6 8947   7c7 8948   8c8 8949   ZZcz 9226   ...cfz 9979    mod cmo 10292    || cdvds 11762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fl 10240  df-mod 10293  df-dvds 11763
This theorem is referenced by:  lgsdir2  14005
  Copyright terms: Public domain W3C validator