Theorem lgsdir2lem3 15758

Description: Lemma for lgsdir2 15761. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 9310	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 10607	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8m1e7 9267	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
6	5	oveq2i 6028	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
7	4, 6	eleqtrdi 2324	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
8		neg1z 9510	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
9		z0even 12471	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
10		1pneg1e0 9253	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
11		ax-1cn 8124	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
12		neg1cn 9247	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
13	11, 12	addcomi 8322	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
14	10, 13	eqtr3i 2254	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
15	9, 14	breqtri 4113	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
16		noel 3498	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
17	16	pm2.21i 651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
18		neg1lt0 9250	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
19		0z 9489	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
20		fzn 10276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
21	19, 8, 20	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
22	18, 21	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
23	17, 22	eleq2s 2326	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1201	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
26		1e0p1 9651	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
27		ssun1 3370	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
28		1ex 8173	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
29	28	prid1 3777	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
30	27, 29	sselii 3224	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 15757	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
32		df-2 9201	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
33		df-3 9202	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
34		ssun2 3371	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		3ex 9218	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
36	35	prid1 3777	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
37	34, 36	sselii 3224	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 15757	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-4 9203	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
40		df-5 9204	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
41		5nn 9307	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
42	41	elexi 2815	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
43	42	prid2 3778	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
44	34, 43	sselii 3224	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 15757	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-6 9205	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
47		df-7 9206	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
48		7nn 9309	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
49	48	elexi 2815	. . . . . 6 |- 7 e. _V
50	49	prid2 3778	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
51	27, 50	sselii 3224	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 15757	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53	52	simp3i 1034	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
54	7, 53	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   (/)c0 3494   {cpr 3670   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   - cmin 8349   -ucneg 8350   NNcn 9142   2c2 9193   3c3 9194   4c4 9195   5c5 9196   6c6 9197   7c7 9198   8c8 9199   ZZcz 9478   ...cfz 10242   mod cmo 10583   || cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fl 10529  df-mod 10584  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15761  2lgslem3  15829  2lgsoddprmlem3  15839