Theorem lgsdir2lem3 15187

Description: Lemma for lgsdir2 15190. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 9152	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 10420	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8m1e7 9109	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
6	5	oveq2i 5930	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
7	4, 6	eleqtrdi 2286	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
8		neg1z 9352	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
9		z0even 12055	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
10		1pneg1e0 9095	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
11		ax-1cn 7967	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
12		neg1cn 9089	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
13	11, 12	addcomi 8165	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
14	10, 13	eqtr3i 2216	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
15	9, 14	breqtri 4055	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
16		noel 3451	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
17	16	pm2.21i 647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
18		neg1lt0 9092	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
19		0z 9331	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
20		fzn 10111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
21	19, 8, 20	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
22	18, 21	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
23	17, 22	eleq2s 2288	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1177	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
26		1e0p1 9492	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
27		ssun1 3323	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
28		1ex 8016	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
29	28	prid1 3725	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
30	27, 29	sselii 3177	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 15186	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
32		df-2 9043	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
33		df-3 9044	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
34		ssun2 3324	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		3ex 9060	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
36	35	prid1 3725	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
37	34, 36	sselii 3177	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 15186	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-4 9045	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
40		df-5 9046	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
41		5nn 9149	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
42	41	elexi 2772	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
43	42	prid2 3726	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
44	34, 43	sselii 3177	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 15186	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-6 9047	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
47		df-7 9048	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
48		7nn 9151	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
49	48	elexi 2772	. . . . . 6 |- 7 e. _V
50	49	prid2 3726	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
51	27, 50	sselii 3177	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 15186	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53	52	simp3i 1010	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
54	7, 53	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3152   (/)c0 3447   {cpr 3620   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   - cmin 8192   -ucneg 8193   NNcn 8984   2c2 9035   3c3 9036   4c4 9037   5c5 9038   6c6 9039   7c7 9040   8c8 9041   ZZcz 9320   ...cfz 10077   mod cmo 10396   || cdvds 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fl 10342  df-mod 10397  df-dvds 11934

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15190  2lgslem3  15258  2lgsoddprmlem3  15268