Theorem lgsdir2lem3 15703

Description: Lemma for lgsdir2 15706. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 9274	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 10563	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8m1e7 9231	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
6	5	oveq2i 6011	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
7	4, 6	eleqtrdi 2322	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
8		neg1z 9474	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
9		z0even 12417	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
10		1pneg1e0 9217	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
11		ax-1cn 8088	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
12		neg1cn 9211	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
13	11, 12	addcomi 8286	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
14	10, 13	eqtr3i 2252	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
15	9, 14	breqtri 4107	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
16		noel 3495	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
17	16	pm2.21i 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
18		neg1lt0 9214	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
19		0z 9453	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
20		fzn 10234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
21	19, 8, 20	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
22	18, 21	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
23	17, 22	eleq2s 2324	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1199	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
26		1e0p1 9615	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
27		ssun1 3367	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
28		1ex 8137	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
29	28	prid1 3772	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
30	27, 29	sselii 3221	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 15702	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
32		df-2 9165	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
33		df-3 9166	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
34		ssun2 3368	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		3ex 9182	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
36	35	prid1 3772	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
37	34, 36	sselii 3221	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 15702	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-4 9167	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
40		df-5 9168	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
41		5nn 9271	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
42	41	elexi 2812	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
43	42	prid2 3773	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
44	34, 43	sselii 3221	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 15702	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-6 9169	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
47		df-7 9170	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
48		7nn 9273	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
49	48	elexi 2812	. . . . . 6 |- 7 e. _V
50	49	prid2 3773	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
51	27, 50	sselii 3221	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 15702	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53	52	simp3i 1032	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
54	7, 53	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   (/)c0 3491   {cpr 3667   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   - cmin 8313   -ucneg 8314   NNcn 9106   2c2 9157   3c3 9158   4c4 9159   5c5 9160   6c6 9161   7c7 9162   8c8 9163   ZZcz 9442   ...cfz 10200   mod cmo 10539   || cdvds 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fl 10485  df-mod 10540  df-dvds 12294

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15706  2lgslem3  15774  2lgsoddprmlem3  15784