Theorem lgsdir2lem3 15903

Description: Lemma for lgsdir2 15906. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 9405	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 10708	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8m1e7 9362	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
6	5	oveq2i 6061	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
7	4, 6	eleqtrdi 2325	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
8		neg1z 9609	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
9		z0even 12597	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
10		1pneg1e0 9348	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
11		ax-1cn 8220	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
12		neg1cn 9342	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
13	11, 12	addcomi 8417	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
14	10, 13	eqtr3i 2255	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
15	9, 14	breqtri 4134	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
16		noel 3512	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
17	16	pm2.21i 651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
18		neg1lt0 9345	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
19		0z 9588	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
20		fzn 10376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
21	19, 8, 20	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
22	18, 21	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
23	17, 22	eleq2s 2327	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1202	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
26		1e0p1 9750	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
27		ssun1 3382	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
28		1ex 8269	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
29	28	prid1 3797	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
30	27, 29	sselii 3235	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 15902	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
32		df-2 9296	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
33		df-3 9297	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
34		ssun2 3383	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		3ex 9313	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
36	35	prid1 3797	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
37	34, 36	sselii 3235	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 15902	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-4 9298	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
40		df-5 9299	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
41		5nn 9402	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
42	41	elexi 2826	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
43	42	prid2 3798	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
44	34, 43	sselii 3235	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 15902	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-6 9300	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
47		df-7 9301	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
48		7nn 9404	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
49	48	elexi 2826	. . . . . 6 |- 7 e. _V
50	49	prid2 3798	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
51	27, 50	sselii 3235	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 15902	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53	52	simp3i 1035	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
54	7, 53	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   u. cun 3209   (/)c0 3508   {cpr 3690   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   - cmin 8444   -ucneg 8445   NNcn 9237   2c2 9288   3c3 9289   4c4 9290   5c5 9291   6c6 9292   7c7 9293   8c8 9294   ZZcz 9577   ...cfz 10342   mod cmo 10684   || cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fl 10630  df-mod 10685  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15906  2lgslem3  15974  2lgsoddprmlem3  15984