Theorem lgsdir2lem3 15832

Description: Lemma for lgsdir2 15835. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 9353	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 10654	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8m1e7 9310	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
6	5	oveq2i 6039	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
7	4, 6	eleqtrdi 2324	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
8		neg1z 9555	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
9		z0even 12535	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
10		1pneg1e0 9296	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
11		ax-1cn 8168	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
12		neg1cn 9290	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
13	11, 12	addcomi 8365	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
14	10, 13	eqtr3i 2254	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
15	9, 14	breqtri 4118	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
16		noel 3500	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
17	16	pm2.21i 651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
18		neg1lt0 9293	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
19		0z 9534	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
20		fzn 10322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
21	19, 8, 20	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
22	18, 21	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
23	17, 22	eleq2s 2326	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1202	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
26		1e0p1 9696	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
27		ssun1 3372	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
28		1ex 8217	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
29	28	prid1 3781	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
30	27, 29	sselii 3225	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 15831	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
32		df-2 9244	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
33		df-3 9245	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
34		ssun2 3373	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		3ex 9261	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
36	35	prid1 3781	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
37	34, 36	sselii 3225	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 15831	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-4 9246	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
40		df-5 9247	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
41		5nn 9350	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
42	41	elexi 2816	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
43	42	prid2 3782	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
44	34, 43	sselii 3225	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 15831	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-6 9248	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
47		df-7 9249	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
48		7nn 9352	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
49	48	elexi 2816	. . . . . 6 |- 7 e. _V
50	49	prid2 3782	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
51	27, 50	sselii 3225	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 15831	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53	52	simp3i 1035	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
54	7, 53	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   u. cun 3199   (/)c0 3496   {cpr 3674   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   - cmin 8392   -ucneg 8393   NNcn 9185   2c2 9236   3c3 9237   4c4 9238   5c5 9239   6c6 9240   7c7 9241   8c8 9242   ZZcz 9523   ...cfz 10288   mod cmo 10630   || cdvds 12411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fl 10576  df-mod 10631  df-dvds 12412

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15835  2lgslem3  15903  2lgsoddprmlem3  15913