Theorem lt0neg1 8487

Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lt0neg1	|- ( A e. RR -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )

Proof of Theorem lt0neg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8019	. . 3 |- 0 e. RR
2		ltneg 8481	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A < 0 <-> -u 0 < -u A ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR -> ( A < 0 <-> -u 0 < -u A ) )
4		neg0 8265	. . 3 |- -u 0 = 0
5	4	breq1i 4036	. 2 |- ( -u 0 < -u A <-> 0 < -u A )
6	3, 5	bitrdi 196	1 |- ( A e. RR -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   RRcr 7871   0cc0 7872   < clt 8054   -ucneg 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193

This theorem is referenced by:  mullt0  8499  lt0neg1d  8534  recexre  8597  rpnegap  9752  negelrp  9753