Theorem nncand 8607

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
nncand	|- ( ph -> ( A - ( A - B ) ) = B )

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		nncan 8520	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( A - B ) ) = B )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - ( A - B ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6059   CCcc 8142   - cmin 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-setind 4665  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-sub 8464

This theorem is referenced by:  modqdiffl  10725  flqmod  10728  ccatswrd  11391  fprodrev  12335  efaddlem  12390  cos12dec  12484  4sqlem5  13110  mul4sqlem  13121  4sqlem14  13132  ballotfilemsf1o  13206  znunit  14938  blssps  15423  blss  15424  ivthinclemuopn  15634  sin0pilem1  15777  gausslemma2dlem1a  16062  lgsquadlem1  16081  qdiff  16974