Theorem nncand 8401

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
nncand	|- ( ph -> ( A - ( A - B ) ) = B )

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		nncan 8314	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( A - B ) ) = B )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - ( A - B ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177  (class class class)co 5954   CCcc 7936   - cmin 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-setind 4590  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-sub 8258

This theorem is referenced by:  modqdiffl  10493  flqmod  10496  ccatswrd  11137  fprodrev  11980  efaddlem  12035  cos12dec  12129  4sqlem5  12755  mul4sqlem  12766  4sqlem14  12777  znunit  14471  blssps  14949  blss  14950  ivthinclemuopn  15160  sin0pilem1  15303  gausslemma2dlem1a  15585  lgsquadlem1  15604