Theorem 4sqlem5 12321

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem5	|- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem 4sqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ZZ )
2	1	zcnd 9322	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
3		4sqlem5.4	. . . . 5 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4		zq 9572	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. QQ )
6		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
7	6	nnzd 9320	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
8		2nn 9026	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
9		znq 9570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
10	7, 8, 9	sylancl 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. QQ )
11		qaddcl 9581	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
12	5, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
13		nnq 9579	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. QQ )
15	6	nngt0d 8909	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < M )
16	12, 14, 15	modqcld 10271	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
17		qcn 9580	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
19	6	nnred 8878	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
20	19	rehalfcld 9111	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR )
21	20	recnd 7935	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. CC )
22	18, 21	subcld 8217	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) e. CC )
23	3, 22	eqeltrid 2257	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
24	2, 23	nncand 8222	. . 3 |- ( ph -> ( A - ( A - B ) ) = B )
25	2, 23	subcld 8217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )
26	19	recnd 7935	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
27	6	nnap0d 8911	. . . . . 6 |- ( ph -> M # 0 )
28	25, 26, 27	divcanap1d 8695	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A - B ) / M ) x. M ) = ( A - B ) )
29	3	oveq2i 5861	. . . . . . . . 9 |- ( A - B ) = ( A - ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) )
30	2, 18, 21	subsub3d 8247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A - ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) ) )
31	29, 30	eqtrid 2215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A - B ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) ) )
32	31	oveq1d 5865	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A - B ) / M ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) ) / M ) )
33		modqdifz 10279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) ) / M ) e. ZZ )
34	12, 14, 15, 33	syl3anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) ) / M ) e. ZZ )
35	32, 34	eqeltrd 2247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ )
36	35, 7	zmulcld 9327	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A - B ) / M ) x. M ) e. ZZ )
37	28, 36	eqeltrrd 2248	. . . 4 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )
38	1, 37	zsubcld 9326	. . 3 |- ( ph -> ( A - ( A - B ) ) e. ZZ )
39	24, 38	eqeltrrd 2248	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
40	39, 35	jca 304	1 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   CCcc 7759   0cc0 7761   + caddc 7764   x. cmul 7766   < clt 7941   - cmin 8077   / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   ZZcz 9199   QQcq 9565   mod cmo 10265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213  df-mod 10266

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12323  4sqlem8  12324  4sqlem9  12325  4sqlem10  12326  2sqlem8a  13673  2sqlem8  13674