Theorem negsubd 8555

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8486	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8090   + caddc 8095   - cmin 8409   -ucneg 8410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412

This theorem is referenced by:  mulsub  8639  apsub1  8881  divsubdirap  8947  divsubdivap  8967  div2subap  9076  ofnegsub  9201  zaddcllemneg  9579  icoshftf1o  10287  fzosubel  10502  ceiqm1l  10636  modqcyc2  10685  qnegmod  10694  modqsub12d  10706  modsumfzodifsn  10721  expaddzaplem  10907  binom2sub  10978  seq3shft  11478  cjreb  11506  recj  11507  remullem  11511  imcj  11515  resqrexlemover  11650  resqrexlemcalc1  11654  resqrexlemcalc3  11656  bdtri  11880  subcn2  11951  fsumshftm  12086  fsumsub  12093  geosergap  12147  efmival  12374  cosadd  12378  sinsub  12381  sincossq  12389  cos12dec  12409  moddvds  12440  dvdsadd2b  12481  pythagtriplem4  12921  mulgdirlem  13820  mulgmodid  13828  mulgsubdir  13829  gsumfzconst  14008  dvmptsubcn  15534  cosq34lt1  15661  rpcxpsub  15719  rpabscxpbnd  15751  rprelogbdiv  15768  lgseisenlem1  15889  2sqlem4  15937  apdifflemr  16779