Theorem negsubd 8391

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8322	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   CCcc 7925   + caddc 7930   - cmin 8245   -ucneg 8246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-neg 8248

This theorem is referenced by:  mulsub  8475  apsub1  8717  divsubdirap  8783  divsubdivap  8803  div2subap  8912  ofnegsub  9037  zaddcllemneg  9413  icoshftf1o  10115  fzosubel  10325  ceiqm1l  10458  modqcyc2  10507  qnegmod  10516  modqsub12d  10528  modsumfzodifsn  10543  expaddzaplem  10729  binom2sub  10800  seq3shft  11182  cjreb  11210  recj  11211  remullem  11215  imcj  11219  resqrexlemover  11354  resqrexlemcalc1  11358  resqrexlemcalc3  11360  bdtri  11584  subcn2  11655  fsumshftm  11789  fsumsub  11796  geosergap  11850  efmival  12077  cosadd  12081  sinsub  12084  sincossq  12092  cos12dec  12112  moddvds  12143  dvdsadd2b  12184  pythagtriplem4  12624  mulgdirlem  13522  mulgmodid  13530  mulgsubdir  13531  gsumfzconst  13710  dvmptsubcn  15228  cosq34lt1  15355  rpcxpsub  15413  rpabscxpbnd  15445  rprelogbdiv  15462  lgseisenlem1  15580  2sqlem4  15628  apdifflemr  16023