Theorem negsubd 8274

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8205	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   CCcc 7809   + caddc 7814   - cmin 8128   -ucneg 8129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130  df-neg 8131

This theorem is referenced by:  mulsub  8358  apsub1  8599  divsubdirap  8665  divsubdivap  8685  div2subap  8794  zaddcllemneg  9292  icoshftf1o  9991  fzosubel  10194  ceiqm1l  10311  modqcyc2  10360  qnegmod  10369  modqsub12d  10381  modsumfzodifsn  10396  expaddzaplem  10563  binom2sub  10634  seq3shft  10847  cjreb  10875  recj  10876  remullem  10880  imcj  10884  resqrexlemover  11019  resqrexlemcalc1  11023  resqrexlemcalc3  11025  bdtri  11248  subcn2  11319  fsumshftm  11453  fsumsub  11460  geosergap  11514  efmival  11741  cosadd  11745  sinsub  11748  sincossq  11756  cos12dec  11775  moddvds  11806  dvdsadd2b  11847  pythagtriplem4  12268  mulgdirlem  13014  mulgmodid  13022  mulgsubdir  13023  dvmptsubcn  14188  cosq34lt1  14274  rpcxpsub  14332  rpabscxpbnd  14362  rprelogbdiv  14378  lgseisenlem1  14453  2sqlem4  14468  apdifflemr  14798