Theorem negsubd 8589

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8520	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6049   CCcc 8124   + caddc 8129   - cmin 8443   -ucneg 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8445  df-neg 8446

This theorem is referenced by:  mulsub  8673  apsub1  8915  divsubdirap  8981  divsubdivap  9001  div2subap  9110  ofnegsub  9235  zaddcllemneg  9615  icoshftf1o  10323  fzosubel  10538  ceiqm1l  10672  modqcyc2  10721  qnegmod  10730  modqsub12d  10742  modsumfzodifsn  10757  expaddzaplem  10943  binom2sub  11014  seq3shft  11519  cjreb  11547  recj  11548  remullem  11552  imcj  11556  resqrexlemover  11691  resqrexlemcalc1  11695  resqrexlemcalc3  11697  bdtri  11921  subcn2  11992  fsumshftm  12127  fsumsub  12134  geosergap  12188  efmival  12415  cosadd  12419  sinsub  12422  sincossq  12430  cos12dec  12450  moddvds  12481  dvdsadd2b  12522  pythagtriplem4  12962  mulgdirlem  13862  mulgmodid  13870  mulgsubdir  13871  gsumfzconst  14050  dvmptsubcn  15580  cosq34lt1  15707  rpcxpsub  15765  rpabscxpbnd  15797  rprelogbdiv  15814  lgseisenlem1  15935  2sqlem4  15983  apdifflemr  16823