Theorem negsubd 8474

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8405	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   CCcc 8008   + caddc 8013   - cmin 8328   -ucneg 8329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331

This theorem is referenced by:  mulsub  8558  apsub1  8800  divsubdirap  8866  divsubdivap  8886  div2subap  8995  ofnegsub  9120  zaddcllemneg  9496  icoshftf1o  10199  fzosubel  10412  ceiqm1l  10545  modqcyc2  10594  qnegmod  10603  modqsub12d  10615  modsumfzodifsn  10630  expaddzaplem  10816  binom2sub  10887  seq3shft  11365  cjreb  11393  recj  11394  remullem  11398  imcj  11402  resqrexlemover  11537  resqrexlemcalc1  11541  resqrexlemcalc3  11543  bdtri  11767  subcn2  11838  fsumshftm  11972  fsumsub  11979  geosergap  12033  efmival  12260  cosadd  12264  sinsub  12267  sincossq  12275  cos12dec  12295  moddvds  12326  dvdsadd2b  12367  pythagtriplem4  12807  mulgdirlem  13706  mulgmodid  13714  mulgsubdir  13715  gsumfzconst  13894  dvmptsubcn  15413  cosq34lt1  15540  rpcxpsub  15598  rpabscxpbnd  15630  rprelogbdiv  15647  lgseisenlem1  15765  2sqlem4  15813  apdifflemr  16503