Theorem negsubd 8645

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8576	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8178   + caddc 8183   - cmin 8499   -ucneg 8500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-neg 8502

This theorem is used by:  mulsub  8730  apsub1  8973  divsubdirap  9041  divsubdivap  9061  div2subap  9170  ofnegsub  9295  zaddcllemneg  9688  icoshftf1o  10404  fzosubel  10623  ceiqm1l  10763  modqcyc2  10812  qnegmod  10821  modqsub12d  10833  modsumfzodifsn  10848  expaddzaplem  11034  binom2sub  11105  seq3shft  11619  cjreb  11647  recj  11648  remullem  11652  imcj  11656  resqrexlemover  11792  resqrexlemcalc1  11796  resqrexlemcalc3  11798  bdtri  12025  subcn2  12096  fsumshftm  12231  fsumsub  12238  geosergap  12292  efmival  12519  cosadd  12523  sinsub  12526  sincossq  12534  cos12dec  12554  moddvds  12585  dvdsadd2b  12626  pythagtriplem4  13070  mulgdirlem  14009  mulgmodid  14017  mulgsubdir  14018  gzsumconst  14227  dvmptsubcn  15915  cosq34lt1  16043  rpcxpsub  16105  rpabscxpbnd  16137  rprelogbdiv  16154  lgseisenlem1  16355  2sqlem4  16403  dichmul0orlem6  16924  apdifflemr  17263