Theorem negsubd 8590

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8521	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6050   CCcc 8125   + caddc 8130   - cmin 8444   -ucneg 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by:  mulsub  8674  apsub1  8916  divsubdirap  8982  divsubdivap  9002  div2subap  9111  ofnegsub  9236  zaddcllemneg  9616  icoshftf1o  10324  fzosubel  10539  ceiqm1l  10673  modqcyc2  10722  qnegmod  10731  modqsub12d  10743  modsumfzodifsn  10758  expaddzaplem  10944  binom2sub  11015  seq3shft  11523  cjreb  11551  recj  11552  remullem  11556  imcj  11560  resqrexlemover  11695  resqrexlemcalc1  11699  resqrexlemcalc3  11701  bdtri  11925  subcn2  11996  fsumshftm  12131  fsumsub  12138  geosergap  12192  efmival  12419  cosadd  12423  sinsub  12426  sincossq  12434  cos12dec  12454  moddvds  12485  dvdsadd2b  12526  pythagtriplem4  12966  mulgdirlem  13870  mulgmodid  13878  mulgsubdir  13879  gsumfzconst  14058  dvmptsubcn  15588  cosq34lt1  15715  rpcxpsub  15773  rpabscxpbnd  15805  rprelogbdiv  15822  lgseisenlem1  15943  2sqlem4  15991  apdifflemr  16831