Theorem negsubd 8463

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8394	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   + caddc 8002   - cmin 8317   -ucneg 8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320

This theorem is referenced by:  mulsub  8547  apsub1  8789  divsubdirap  8855  divsubdivap  8875  div2subap  8984  ofnegsub  9109  zaddcllemneg  9485  icoshftf1o  10187  fzosubel  10400  ceiqm1l  10533  modqcyc2  10582  qnegmod  10591  modqsub12d  10603  modsumfzodifsn  10618  expaddzaplem  10804  binom2sub  10875  seq3shft  11349  cjreb  11377  recj  11378  remullem  11382  imcj  11386  resqrexlemover  11521  resqrexlemcalc1  11525  resqrexlemcalc3  11527  bdtri  11751  subcn2  11822  fsumshftm  11956  fsumsub  11963  geosergap  12017  efmival  12244  cosadd  12248  sinsub  12251  sincossq  12259  cos12dec  12279  moddvds  12310  dvdsadd2b  12351  pythagtriplem4  12791  mulgdirlem  13690  mulgmodid  13698  mulgsubdir  13699  gsumfzconst  13878  dvmptsubcn  15397  cosq34lt1  15524  rpcxpsub  15582  rpabscxpbnd  15614  rprelogbdiv  15631  lgseisenlem1  15749  2sqlem4  15797  apdifflemr  16415