Theorem negsubd 8304

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8235	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5896   CCcc 7839   + caddc 7844   - cmin 8158   -ucneg 8159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-sub 8160  df-neg 8161

This theorem is referenced by:  mulsub  8388  apsub1  8629  divsubdirap  8695  divsubdivap  8715  div2subap  8824  zaddcllemneg  9322  icoshftf1o  10021  fzosubel  10224  ceiqm1l  10342  modqcyc2  10391  qnegmod  10400  modqsub12d  10412  modsumfzodifsn  10427  expaddzaplem  10594  binom2sub  10665  seq3shft  10879  cjreb  10907  recj  10908  remullem  10912  imcj  10916  resqrexlemover  11051  resqrexlemcalc1  11055  resqrexlemcalc3  11057  bdtri  11280  subcn2  11351  fsumshftm  11485  fsumsub  11492  geosergap  11546  efmival  11773  cosadd  11777  sinsub  11780  sincossq  11788  cos12dec  11807  moddvds  11838  dvdsadd2b  11879  pythagtriplem4  12300  mulgdirlem  13093  mulgmodid  13101  mulgsubdir  13102  dvmptsubcn  14645  cosq34lt1  14731  rpcxpsub  14789  rpabscxpbnd  14819  rprelogbdiv  14835  lgseisenlem1  14911  2sqlem4  14926  apdifflemr  15257