Theorem negsubd 8223

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8154	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5850   CCcc 7759   + caddc 7764   - cmin 8077   -ucneg 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-sub 8079  df-neg 8080

This theorem is referenced by:  mulsub  8307  apsub1  8548  divsubdirap  8612  divsubdivap  8632  div2subap  8741  zaddcllemneg  9238  icoshftf1o  9935  fzosubel  10137  ceiqm1l  10254  modqcyc2  10303  qnegmod  10312  modqsub12d  10324  modsumfzodifsn  10339  expaddzaplem  10506  binom2sub  10576  seq3shft  10789  cjreb  10817  recj  10818  remullem  10822  imcj  10826  resqrexlemover  10961  resqrexlemcalc1  10965  resqrexlemcalc3  10967  bdtri  11190  subcn2  11261  fsumshftm  11395  fsumsub  11402  geosergap  11456  efmival  11683  cosadd  11687  sinsub  11690  sincossq  11698  cos12dec  11717  moddvds  11748  dvdsadd2b  11789  pythagtriplem4  12209  dvmptsubcn  13438  cosq34lt1  13524  rpcxpsub  13582  rpabscxpbnd  13612  rprelogbdiv  13628  2sqlem4  13707  apdifflemr  14039