Theorem negsubd 8424

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8355	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   + caddc 7963   - cmin 8278   -ucneg 8279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281

This theorem is referenced by:  mulsub  8508  apsub1  8750  divsubdirap  8816  divsubdivap  8836  div2subap  8945  ofnegsub  9070  zaddcllemneg  9446  icoshftf1o  10148  fzosubel  10360  ceiqm1l  10493  modqcyc2  10542  qnegmod  10551  modqsub12d  10563  modsumfzodifsn  10578  expaddzaplem  10764  binom2sub  10835  seq3shft  11264  cjreb  11292  recj  11293  remullem  11297  imcj  11301  resqrexlemover  11436  resqrexlemcalc1  11440  resqrexlemcalc3  11442  bdtri  11666  subcn2  11737  fsumshftm  11871  fsumsub  11878  geosergap  11932  efmival  12159  cosadd  12163  sinsub  12166  sincossq  12174  cos12dec  12194  moddvds  12225  dvdsadd2b  12266  pythagtriplem4  12706  mulgdirlem  13604  mulgmodid  13612  mulgsubdir  13613  gsumfzconst  13792  dvmptsubcn  15310  cosq34lt1  15437  rpcxpsub  15495  rpabscxpbnd  15527  rprelogbdiv  15544  lgseisenlem1  15662  2sqlem4  15710  apdifflemr  16188