ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqdiffl Unicode version
Theorem modqdiffl 10101
Description: The modulo operation differs from A by an integer multiple of B. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqdiffl |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A - ( A mod B ) ) / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
Proof of Theorem modqdiffl
StepHypRef Expression
1 modqval 10090 . . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
21oveq2d 5783 . . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A - ( A mod B ) ) = ( A - ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) ) )
3 qcn 9419 . . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
433ad2ant1 1002 . . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. CC )
5 qcn 9419 . . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
653ad2ant2 1003 . . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. CC )
7 simp3 983 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
87gt0ne0d 8267 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
9 qdivcl 9428 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
108, 9syld3an3 1261 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
1110flqcld 10043 . . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
1211zcnd 9167 . . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
136, 12mulcld 7779 . . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. CC )
144, 13nncand 8071 . . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A - ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) ) = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) )
152, 14eqtrd 2170 . . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A - ( A mod B ) ) = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) )
1615oveq1d 5782 . 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A - ( A mod B ) ) / B ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) / B ) )
17 qre 9410 . . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
18173ad2ant2 1003 . . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. RR )
1918, 7gt0ap0d 8384 . . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B # 0 )
2012, 6, 19divcanap3d 8548 . 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
2116, 20eqtrd 2170 1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A - ( A mod B ) ) / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   x. cmul 7618   < clt 7793   - cmin 7926   / cdiv 8425   QQcq 9404   |_cfl 10034   mod cmo 10088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435  df-fl 10036  df-mod 10089
This theorem is referenced by:  modqdifz  10102  modqmuladdnn0  10134
  Copyright terms: Public domain W3C validator