ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqdiffl Unicode version
Theorem modqdiffl 10794
Description: The modulo operation differs from A by an integer multiple of B. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqdiffl |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A - ( A mod B ) ) / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
Proof of Theorem modqdiffl
StepHypRef Expression
1 modqval 10783 . . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
21oveq2d 6104 . . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A - ( A mod B ) ) = ( A - ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) ) )
3 qcn 10051 . . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
433ad2ant1 1049 . . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. CC )
5 qcn 10051 . . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
653ad2ant2 1050 . . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. CC )
7 simp3 1030 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
87gt0ne0d 8848 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
9 qdivcl 10060 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
108, 9syld3an3 1323 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
1110flqcld 10732 . . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
1211zcnd 9781 . . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
136, 12mulcld 8353 . . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. CC )
144, 13nncand 8650 . . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A - ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) ) = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) )
152, 14eqtrd 2271 . . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A - ( A mod B ) ) = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) )
1615oveq1d 6103 . 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A - ( A mod B ) ) / B ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) / B ) )
17 qre 10042 . . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
18173ad2ant2 1050 . . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. RR )
1918, 7gt0ap0d 8966 . . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B # 0 )
2012, 6, 19divcanap3d 9134 . 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
2116, 20eqtrd 2271 1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A - ( A mod B ) ) / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8184   RRcr 8185   0cc0 8186   x. cmul 8191   < clt 8367   - cmin 8505   / cdiv 9011   QQcq 10036   |_cfl 10721   mod cmo 10781
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-q 10037  df-rp 10073  df-fl 10723  df-mod 10782
This theorem is used by:  modqdifz  10795  modqmuladdnn0  10827  bitsinv1lem  12754
  Copyright terms: Public domain W3C validator