ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numsuc GIF version

Theorem numsuc 9464
Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numnncl.1 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2 𝐴 ∈ ℕ0
numcl.2 𝐵 ∈ ℕ0
numsuc.4 (𝐵 + 1) = 𝐶
numsuc.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
Assertion
Ref Expression
numsuc (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numsuc
StepHypRef Expression
1 numsuc.5 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
21oveq1i 5929 . 2 (𝑁 + 1) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1)
3 numnncl.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
4 numnncl.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
53, 4nn0mulcli 9281 . . . 4 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
65nn0cni 9255 . . 3 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
7 numcl.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
87nn0cni 9255 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
9 ax-1cn 7967 . . 3 1 ∈ ℂ
106, 8, 9addassi 8029 . 2 (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1))
11 numsuc.4 . . 3 (𝐵 + 1) = 𝐶
1211oveq2i 5930 . 2 ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
132, 10, 123eqtri 2218 1 (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1364  wcel 2164  (class class class)co 5919  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879  0cn0 9243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-inn 8985  df-n0 9244
This theorem is referenced by:  decsuc  9481  numsucc  9490  decbin3  9592
  Copyright terms: Public domain W3C validator