Theorem numsuc 9291

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numsuc.4	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
numsuc.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
numsuc	⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsuc.5	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq1i 5828	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1)
3		numnncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
4		numnncl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0mulcli 9111	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9085	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
7		numcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9085	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
9		ax-1cn 7808	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	6, 8, 9	addassi 7869	. 2 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1))
11		numsuc.4	. . 3 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
12	11	oveq2i 5829	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
13	2, 10, 12	3eqtri 2182	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5818  1c1 7716   + caddc 7718   · cmul 7720  ℕ₀cn0 9073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-sub 8031  df-inn 8817  df-n0 9074

This theorem is referenced by:  decsuc  9308  numsucc  9317  decbin3  9419