Theorem numsuc 9623

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numsuc.4	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
numsuc.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
numsuc	⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsuc.5	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq1i 6027	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1)
3		numnncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
4		numnncl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0mulcli 9439	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9413	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
7		numcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9413	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
9		ax-1cn 8124	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	6, 8, 9	addassi 8186	. 2 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1))
11		numsuc.4	. . 3 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
12	11	oveq2i 6028	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
13	2, 10, 12	3eqtri 2256	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036  ℕ₀cn0 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-inn 9143  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  decsuc  9640  numsucc  9649  decbin3  9751