Theorem numsuc 9801

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numsuc.4	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
numsuc.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
numsuc	⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsuc.5	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq1i 6098	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1)
3		numnncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
4		numnncl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0mulcli 9612	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9586	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
7		numcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9586	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
9		ax-1cn 8278	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	6, 8, 9	addassi 8340	. 2 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1))
11		numsuc.4	. . 3 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
12	11	oveq2i 6099	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
13	2, 10, 12	3eqtri 2263	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  decsuc  9823  numsucc  9832  decbin3  9934