ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oa1suc GIF version

Theorem oa1suc 6443
Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
oa1suc (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc
StepHypRef Expression
1 df-1o 6392 . . . 4 1o = suc ∅
21oveq2i 5861 . . 3 (𝐴 +o 1o) = (𝐴 +o suc ∅)
3 peano1 4576 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 onasuc 6442 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
53, 4mpan2 423 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
62, 5eqtrid 2215 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc (𝐴 +o ∅))
7 oa0 6433 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
8 suceq 4385 . . 3 ((𝐴 +o ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
97, 8syl 14 . 2 (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
106, 9eqtrd 2203 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  c0 3414  Oncon0 4346  suc csuc 4348  ωcom 4572  (class class class)co 5850  1oc1o 6385   +o coa 6389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-oadd 6396
This theorem is referenced by:  o1p1e2  6444  oawordriexmid  6446  nnaordex  6503  indpi  7291  prarloclemlo  7443
  Copyright terms: Public domain W3C validator