Theorem oa1suc 6210

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6163	. . . 4 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
2	1	oveq2i 5645	. . 3 ⊢ (𝐴 +𝑜 1𝑜) = (𝐴 +𝑜 suc ∅)
3		peano1 4399	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onasuc 6209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc ∅) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
5	3, 4	mpan2 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 suc ∅) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
6	2, 5	syl5eq 2132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
7		oa0 6200	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
8		suceq 4220	. . 3 ⊢ ((𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +𝑜 ∅) = suc 𝐴)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +𝑜 ∅) = suc 𝐴)
10	6, 9	eqtrd 2120	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  ∅c0 3284  Oncon0 4181  suc csuc 4183  ωcom 4395  (class class class)co 5634  1_𝑜c1o 6156   +_𝑜 coa 6160

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167

This theorem is referenced by:  o1p1e2  6211  oawordriexmid  6213  nnaordex  6266  indpi  6880  prarloclemlo  7032