Theorem oa1suc 6534

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6483	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 5936	. . 3 ⊢ (𝐴 +o 1o) = (𝐴 +o suc ∅)
3		peano1 4631	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onasuc 6533	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
6	2, 5	eqtrid 2241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc (𝐴 +o ∅))
7		oa0 6524	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
8		suceq 4438	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
10	6, 9	eqtrd 2229	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∅c0 3451  Oncon0 4399  suc csuc 4401  ωcom 4627  (class class class)co 5925  1_oc1o 6476   +_o coa 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-oadd 6487

This theorem is referenced by:  o1p1e2  6535  oawordriexmid  6537  nnaordex  6595  indpi  7426  prarloclemlo  7578