Theorem oa1suc 6571

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6520	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 5973	. . 3 ⊢ (𝐴 +o 1o) = (𝐴 +o suc ∅)
3		peano1 4655	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onasuc 6570	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
6	2, 5	eqtrid 2251	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc (𝐴 +o ∅))
7		oa0 6561	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
8		suceq 4462	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
10	6, 9	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∅c0 3464  Oncon0 4423  suc csuc 4425  ωcom 4651  (class class class)co 5962  1_oc1o 6513   +_o coa 6517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-irdg 6474  df-1o 6520  df-oadd 6524

This theorem is referenced by:  o1p1e2  6572  oawordriexmid  6574  nnaordex  6632  indpi  7485  prarloclemlo  7637