Theorem oeiexg 6444

Description: Ordinal exponentiation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeiexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem oeiexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2738	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		1on 6414	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
3	2	elexi 2747	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
4		vex 2738	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		vex 2738	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		omexg 6442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑧 ·o 𝑥) ∈ V)
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ·o 𝑥) ∈ V
8		eqid 2175	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)) = (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥))
9	7, 8	fnmpti 5336	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)) Fn V
10	3, 9	rdgexg 6380	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V)
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V
12	11	gen2 1448	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V
13		df-oexpi 6413	. . 3 ⊢ ↑o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦))
14	13	mpofvex 6194	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ V)
15	12, 14	mp3an1 1324	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1351   ∈ wcel 2146  Vcvv 2735   ↦ cmpt 4059  Oncon0 4357  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  reccrdg 6360  1_oc1o 6400   ·_o comu 6405   ↑_o coei 6406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-oexpi 6413

This theorem is referenced by: (None)