Theorem oeiexg 6432

Description: Ordinal exponentiation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeiexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem oeiexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2733	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		1on 6402	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
3	2	elexi 2742	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
4		vex 2733	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		vex 2733	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		omexg 6430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑧 ·o 𝑥) ∈ V)
7	4, 5, 6	mp2an 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ·o 𝑥) ∈ V
8		eqid 2170	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)) = (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥))
9	7, 8	fnmpti 5326	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)) Fn V
10	3, 9	rdgexg 6368	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V)
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V
12	11	gen2 1443	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V
13		df-oexpi 6401	. . 3 ⊢ ↑o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦))
14	13	mpofvex 6182	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ V)
15	12, 14	mp3an1 1319	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1346   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ↦ cmpt 4050  Oncon0 4348  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  reccrdg 6348  1_oc1o 6388   ·_o comu 6393   ↑_o coei 6394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-oexpi 6401

This theorem is referenced by: (None)