Theorem oeiexg 6541

Description: Ordinal exponentiation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeiexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem oeiexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2775	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		1on 6511	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
3	2	elexi 2784	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
4		vex 2775	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		vex 2775	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		omexg 6539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑧 ·o 𝑥) ∈ V)
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ·o 𝑥) ∈ V
8		eqid 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)) = (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥))
9	7, 8	fnmpti 5406	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)) Fn V
10	3, 9	rdgexg 6477	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V)
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V
12	11	gen2 1473	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V
13		df-oexpi 6510	. . 3 ⊢ ↑o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦))
14	13	mpofvex 6293	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ V)
15	12, 14	mp3an1 1337	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1371   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   ↦ cmpt 4106  Oncon0 4411  ‘cfv 5272  (class class class)co 5946  reccrdg 6457  1_oc1o 6497   ·_o comu 6502   ↑_o coei 6503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-oexpi 6510

This theorem is referenced by: (None)