Theorem omct 7109

Description: om is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omct	|- E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o )

Proof of Theorem omct

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5494	. . 3 |- ( _I |` om ) : om -1-1-onto-> om
2		f1ofo 5463	. . 3 |- ( ( _I |` om ) : om -1-1-onto-> om -> ( _I |` om ) : om -onto-> om )
3		omex 4588	. . . . 5 |- om e. _V
4		resiexg 4947	. . . . 5 |- ( om e. _V -> ( _I |` om ) e. _V )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I |` om ) e. _V
6		foeq1 5429	. . . 4 |- ( f = ( _I |` om ) -> ( f : om -onto-> om <-> ( _I |` om ) : om -onto-> om ) )
7	5, 6	spcev 2832	. . 3 |- ( ( _I |` om ) : om -onto-> om -> E. f f : om -onto-> om )
8	1, 2, 7	mp2b 8	. 2 |- E. f f : om -onto-> om
9		peano1 4589	. . 3 |- (/) e. om
10		elex2 2753	. . 3 |- ( (/) e. om -> E. x x e. om )
11		ctm 7101	. . 3 |- ( E. x x e. om -> ( E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> om ) )
12	9, 10, 11	mp2b 8	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> om )
13	8, 12	mpbir 146	1 |- E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   _I cid 4284   omcom 4585   |` cres 4624   -onto->wfo 5209   -1-1-onto->wf1o 5210   1oc1o 6403   ⊔ cdju 7029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-iinf 4583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-1o 6410  df-dju 7030  df-inl 7039  df-inr 7040  df-case 7076

This theorem is referenced by:  omiunct  12415