Theorem omct 7118

Description: om is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omct	|- E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o )

Proof of Theorem omct

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5501	. . 3 |- ( _I |` om ) : om -1-1-onto-> om
2		f1ofo 5470	. . 3 |- ( ( _I |` om ) : om -1-1-onto-> om -> ( _I |` om ) : om -onto-> om )
3		omex 4594	. . . . 5 |- om e. _V
4		resiexg 4954	. . . . 5 |- ( om e. _V -> ( _I |` om ) e. _V )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I |` om ) e. _V
6		foeq1 5436	. . . 4 |- ( f = ( _I |` om ) -> ( f : om -onto-> om <-> ( _I |` om ) : om -onto-> om ) )
7	5, 6	spcev 2834	. . 3 |- ( ( _I |` om ) : om -onto-> om -> E. f f : om -onto-> om )
8	1, 2, 7	mp2b 8	. 2 |- E. f f : om -onto-> om
9		peano1 4595	. . 3 |- (/) e. om
10		elex2 2755	. . 3 |- ( (/) e. om -> E. x x e. om )
11		ctm 7110	. . 3 |- ( E. x x e. om -> ( E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> om ) )
12	9, 10, 11	mp2b 8	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> om )
13	8, 12	mpbir 146	1 |- E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   (/)c0 3424   _I cid 4290   omcom 4591   |` cres 4630   -onto->wfo 5216   -1-1-onto->wf1o 5217   1oc1o 6412   ⊔ cdju 7038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-1o 6419  df-dju 7039  df-inl 7048  df-inr 7049  df-case 7085

This theorem is referenced by:  omiunct  12447