Theorem omct 7002

Description: om is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omct	|- E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o )

Proof of Theorem omct

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5405	. . 3 |- ( _I |` om ) : om -1-1-onto-> om
2		f1ofo 5374	. . 3 |- ( ( _I |` om ) : om -1-1-onto-> om -> ( _I |` om ) : om -onto-> om )
3		omex 4507	. . . . 5 |- om e. _V
4		resiexg 4864	. . . . 5 |- ( om e. _V -> ( _I |` om ) e. _V )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I |` om ) e. _V
6		foeq1 5341	. . . 4 |- ( f = ( _I |` om ) -> ( f : om -onto-> om <-> ( _I |` om ) : om -onto-> om ) )
7	5, 6	spcev 2780	. . 3 |- ( ( _I |` om ) : om -onto-> om -> E. f f : om -onto-> om )
8	1, 2, 7	mp2b 8	. 2 |- E. f f : om -onto-> om
9		peano1 4508	. . 3 |- (/) e. om
10		elex2 2702	. . 3 |- ( (/) e. om -> E. x x e. om )
11		ctm 6994	. . 3 |- ( E. x x e. om -> ( E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> om ) )
12	9, 10, 11	mp2b 8	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> om )
13	8, 12	mpbir 145	1 |- E. f f : om -onto-> ( om ⊔ 1o )

Syntax hints:   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   _I cid 4210   omcom 4504   |` cres 4541   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   1oc1o 6306   ⊔ cdju 6922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969

This theorem is referenced by: (None)