Theorem omct 7183

Description: ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omct	⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)

Proof of Theorem omct

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5542	. . 3 ⊢ ( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω
2		f1ofo 5511	. . 3 ⊢ (( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω → ( I ↾ ω):ω–onto→ω)
3		omex 4629	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4		resiexg 4991	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → ( I ↾ ω) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ω) ∈ V
6		foeq1 5476	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ ω) → (𝑓:ω–onto→ω ↔ ( I ↾ ω):ω–onto→ω))
7	5, 6	spcev 2859	. . 3 ⊢ (( I ↾ ω):ω–onto→ω → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
8	1, 2, 7	mp2b 8	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω
9		peano1 4630	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
10		elex2 2779	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → ∃𝑥 𝑥 ∈ ω)
11		ctm 7175	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ω → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω))
12	9, 10, 11	mp2b 8	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
13	8, 12	mpbir 146	1 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 105  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ∅c0 3450   I cid 4323  ωcom 4626   ↾ cres 4665  –onto→wfo 5256  –1-1-onto→wf1o 5257  1_oc1o 6467   ⊔ cdju 7103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-1o 6474  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114  df-case 7150

This theorem is referenced by:  omiunct  12661