ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omct GIF version

Theorem omct 6995
Description: ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
omct 𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)

Proof of Theorem omct
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5398 . . 3 ( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω
2 f1ofo 5367 . . 3 (( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω → ( I ↾ ω):ω–onto→ω)
3 omex 4502 . . . . 5 ω ∈ V
4 resiexg 4859 . . . . 5 (ω ∈ V → ( I ↾ ω) ∈ V)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ ω) ∈ V
6 foeq1 5336 . . . 4 (𝑓 = ( I ↾ ω) → (𝑓:ω–onto→ω ↔ ( I ↾ ω):ω–onto→ω))
75, 6spcev 2775 . . 3 (( I ↾ ω):ω–onto→ω → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
81, 2, 7mp2b 8 . 2 𝑓 𝑓:ω–onto→ω
9 peano1 4503 . . 3 ∅ ∈ ω
10 elex2 2697 . . 3 (∅ ∈ ω → ∃𝑥 𝑥 ∈ ω)
11 ctm 6987 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ ω → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω))
129, 10, 11mp2b 8 . 2 (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
138, 12mpbir 145 1 𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wex 1468  wcel 1480  Vcvv 2681  c0 3358   I cid 4205  ωcom 4499  cres 4536  ontowfo 5116  1-1-ontowf1o 5117  1oc1o 6299  cdju 6915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-1o 6306  df-dju 6916  df-inl 6925  df-inr 6926  df-case 6962
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator