Theorem omct 7447

Description: ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omct	⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)

Proof of Theorem omct

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5674	. . 3 ⊢ ( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω
2		f1ofo 5641	. . 3 ⊢ (( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω → ( I ↾ ω):ω–onto→ω)
3		omex 4735	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4		resiexg 5103	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → ( I ↾ ω) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ω) ∈ V
6		foeq1 5606	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ ω) → (𝑓:ω–onto→ω ↔ ( I ↾ ω):ω–onto→ω))
7	5, 6	spcev 2920	. . 3 ⊢ (( I ↾ ω):ω–onto→ω → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
8	1, 2, 7	mp2b 8	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω
9		peano1 4736	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
10		elex2 2838	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → ∃𝑥 𝑥 ∈ ω)
11		ctm 7439	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ω → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω))
12	9, 10, 11	mp2b 8	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
13	8, 12	mpbir 146	1 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 105  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ∅c0 3520   I cid 4428  ωcom 4732   ↾ cres 4771  –onto→wfo 5370  –1-1-onto→wf1o 5371  1_oc1o 6670   ⊔ cdju 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-dju 7368  df-inl 7377  df-inr 7378  df-case 7414

This theorem is referenced by:  omiunct  13313