Theorem omct 7094

Description: ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omct	⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)

Proof of Theorem omct

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5480	. . 3 ⊢ ( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω
2		f1ofo 5449	. . 3 ⊢ (( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω → ( I ↾ ω):ω–onto→ω)
3		omex 4577	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4		resiexg 4936	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → ( I ↾ ω) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ω) ∈ V
6		foeq1 5416	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ ω) → (𝑓:ω–onto→ω ↔ ( I ↾ ω):ω–onto→ω))
7	5, 6	spcev 2825	. . 3 ⊢ (( I ↾ ω):ω–onto→ω → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
8	1, 2, 7	mp2b 8	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω
9		peano1 4578	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
10		elex2 2746	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → ∃𝑥 𝑥 ∈ ω)
11		ctm 7086	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ω → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω))
12	9, 10, 11	mp2b 8	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
13	8, 12	mpbir 145	1 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 104  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  ∅c0 3414   I cid 4273  ωcom 4574   ↾ cres 4613  –onto→wfo 5196  –1-1-onto→wf1o 5197  1_oc1o 6388   ⊔ cdju 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061

This theorem is referenced by:  omiunct  12399