Theorem omct 7082

Description: ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omct	⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)

Proof of Theorem omct

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5470	. . 3 ⊢ ( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω
2		f1ofo 5439	. . 3 ⊢ (( I ↾ ω):ω–1-1-onto→ω → ( I ↾ ω):ω–onto→ω)
3		omex 4570	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4		resiexg 4929	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → ( I ↾ ω) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ω) ∈ V
6		foeq1 5406	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ ω) → (𝑓:ω–onto→ω ↔ ( I ↾ ω):ω–onto→ω))
7	5, 6	spcev 2821	. . 3 ⊢ (( I ↾ ω):ω–onto→ω → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
8	1, 2, 7	mp2b 8	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω
9		peano1 4571	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
10		elex2 2742	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → ∃𝑥 𝑥 ∈ ω)
11		ctm 7074	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ω → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω))
12	9, 10, 11	mp2b 8	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ω)
13	8, 12	mpbir 145	1 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ω ⊔ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 104  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  ∅c0 3409   I cid 4266  ωcom 4567   ↾ cres 4606  –onto→wfo 5186  –1-1-onto→wf1o 5187  1_oc1o 6377   ⊔ cdju 7002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049

This theorem is referenced by:  omiunct  12377