Theorem omiunct 12686

Description: The union of a countably infinite collection of countable sets is countable. Theorem 8.1.28 of [AczelRathjen], p. 78. Compare with ctiunct 12682 which has a stronger hypothesis but does not require countable choice. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
omiunct.g	|- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omiunct	|- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   B, g   B, h   ph, g, x   x, h

Allowed substitution hints:   ph( h)   B( x)

Proof of Theorem omiunct

Dummy variables f k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. . . 4 |- ( ph -> CCHOICE )
2		omiunct.g	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
3	1, 2	omctfn 12685	. . 3 |- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
4		exsimpr 1632	. . 3 |- ( E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. f A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. f A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
6		omct 7192	. . 3 |- E. k k : om -onto-> ( om ⊔ 1o )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) )
8		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
9	7, 8	ctiunctal 12683	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )
10	9	expcom 116	. . . 4 |- ( k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) -> ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) ) )
11	10	exlimiv 1612	. . 3 |- ( E. k k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) -> ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) ) )
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )
13	5, 12	exlimddv 1913	1 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   U_ciun 3917   omcom 4627   Fn wfn 5254   -onto->wfo 5257   ` cfv 5259   1oc1o 6476   ⊔ cdju 7112  CCHOICEwacc 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-dju 7113  df-inl 7122  df-inr 7123  df-case 7159  df-cc 7346  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-dvds 11970

This theorem is referenced by: (None)