Theorem omiunct 13387

Description: The union of a countably infinite collection of countable sets is countable. Theorem 8.1.28 of [AczelRathjen], p. 78. Compare with ctiunct 13383 which has a stronger hypothesis but does not require countable choice. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
omiunct.g	|- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omiunct	|- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   B, g   B, h   ph, g, x   x, h

Allowed substitution hints:   ph( h)   B( x)

Proof of Theorem omiunct

Dummy variables f k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. . . 4 |- ( ph -> CCHOICE )
2		omiunct.g	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
3	1, 2	omctfn 13386	. . 3 |- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
4		exsimpr 1671	. . 3 |- ( E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. f A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. f A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
6		omct 7458	. . 3 |- E. k k : om -onto-> ( om ⊔ 1o )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) )
8		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
9	7, 8	ctiunctal 13384	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )
10	9	expcom 116	. . . 4 |- ( k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) -> ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) ) )
11	10	exlimiv 1651	. . 3 |- ( E. k k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) -> ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) ) )
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )
13	5, 12	exlimddv 1954	1 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   U_ciun 4012   omcom 4737   Fn wfn 5372   -onto->wfo 5375   ` cfv 5377   1oc1o 6680   ⊔ cdju 7378  CCHOICEwacc 7629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dju 7379  df-inl 7388  df-inr 7389  df-case 7425  df-cc 7630  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-dvds 12574

This theorem is used by: (None)