Theorem omiunct 12815

Description: The union of a countably infinite collection of countable sets is countable. Theorem 8.1.28 of [AczelRathjen], p. 78. Compare with ctiunct 12811 which has a stronger hypothesis but does not require countable choice. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
omiunct.g	|- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omiunct	|- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   B, g   B, h   ph, g, x   x, h

Allowed substitution hints:   ph( h)   B( x)

Proof of Theorem omiunct

Dummy variables f k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. . . 4 |- ( ph -> CCHOICE )
2		omiunct.g	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
3	1, 2	omctfn 12814	. . 3 |- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
4		exsimpr 1641	. . 3 |- ( E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. f A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. f A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
6		omct 7219	. . 3 |- E. k k : om -onto-> ( om ⊔ 1o )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) )
8		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
9	7, 8	ctiunctal 12812	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )
10	9	expcom 116	. . . 4 |- ( k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) -> ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) ) )
11	10	exlimiv 1621	. . 3 |- ( E. k k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) -> ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) ) )
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )
13	5, 12	exlimddv 1922	1 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   U_ciun 3927   omcom 4638   Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271   1oc1o 6495   ⊔ cdju 7139  CCHOICEwacc 7374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-map 6737  df-en 6828  df-dju 7140  df-inl 7149  df-inr 7150  df-case 7186  df-cc 7375  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-dvds 12099

This theorem is referenced by: (None)