ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omiunct Unicode version

Theorem omiunct 11968
Description: The union of a countably infinite collection of countable sets is countable. Theorem 8.1.28 of [AczelRathjen], p. 78. Compare with ctiunct 11964 which has a stronger hypothesis but does not require countable choice. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
omiunct.cc  |-  ( ph  -> CCHOICE )
omiunct.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) )
Assertion
Ref Expression
omiunct  |-  ( ph  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  om  B 1o )
)
Distinct variable groups:    B, g    B, h    ph, g, x    x, h
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( x)

Proof of Theorem omiunct
Dummy variables  f  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omiunct.cc . . . 4  |-  ( ph  -> CCHOICE )
2 omiunct.g . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) )
31, 2omctfn 11967 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  om  /\  A. x  e.  om  (
f `  x ) : om -onto-> ( B 1o ) ) )
4 exsimpr 1597 . . 3  |-  ( E. f ( f  Fn 
om  /\  A. x  e.  om  ( f `  x ) : om -onto->
( B 1o )
)  ->  E. f A. x  e.  om  ( f `  x
) : om -onto-> ( B 1o ) )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. f A. x  e.  om  ( f `  x ) : om -onto->
( B 1o )
)
6 omct 7002 . . 3  |-  E. k 
k : om -onto-> ( om 1o )
7 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  om  (
f `  x ) : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  k : om -onto-> ( om 1o ) )  ->  k : om -onto-> ( om 1o ) )
8 simplr 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  om  (
f `  x ) : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  k : om -onto-> ( om 1o ) )  ->  A. x  e.  om  ( f `  x ) : om -onto->
( B 1o )
)
97, 8ctiunctal 11965 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  om  (
f `  x ) : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  k : om -onto-> ( om 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  om  B 1o ) )
109expcom 115 . . . 4  |-  ( k : om -onto-> ( om 1o )  ->  ( (
ph  /\  A. x  e.  om  ( f `  x ) : om -onto->
( B 1o )
)  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  om  B 1o ) ) )
1110exlimiv 1577 . . 3  |-  ( E. k  k : om -onto->
( om 1o )  -> 
( ( ph  /\  A. x  e.  om  (
f `  x ) : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  om  B 1o ) ) )
126, 11ax-mp 5 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  om  ( f `  x ) : om -onto->
( B 1o )
)  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  om  B 1o ) )
135, 12exlimddv 1870 1  |-  ( ph  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  om  B 1o )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2416   U_ciun 3813   omcom 4504    Fn wfn 5118   -onto->wfo 5121   ` cfv 5123   1oc1o 6306   ⊔ cdju 6922  CCHOICEwacc 7082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-map 6544  df-en 6635  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969  df-cc 7083  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-dvds 11505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator