Theorem omiunct 13313

Description: The union of a countably infinite collection of countable sets is countable. Theorem 8.1.28 of [AczelRathjen], p. 78. Compare with ctiunct 13309 which has a stronger hypothesis but does not require countable choice. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
omiunct.g	|- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omiunct	|- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   B, g   B, h   ph, g, x   x, h

Allowed substitution hints:   ph( h)   B( x)

Proof of Theorem omiunct

Dummy variables f k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. . . 4 |- ( ph -> CCHOICE )
2		omiunct.g	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
3	1, 2	omctfn 13312	. . 3 |- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
4		exsimpr 1671	. . 3 |- ( E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. f A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. f A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
6		omct 7447	. . 3 |- E. k k : om -onto-> ( om ⊔ 1o )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) )
8		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
9	7, 8	ctiunctal 13310	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )
10	9	expcom 116	. . . 4 |- ( k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) -> ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) ) )
11	10	exlimiv 1651	. . 3 |- ( E. k k : om -onto-> ( om ⊔ 1o ) -> ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) ) )
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )
13	5, 12	exlimddv 1954	1 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. om B ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   U_ciun 4007   omcom 4732   Fn wfn 5367   -onto->wfo 5370   ` cfv 5372   1oc1o 6670   ⊔ cdju 7367  CCHOICEwacc 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dju 7368  df-inl 7377  df-inr 7378  df-case 7414  df-cc 7619  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-dvds 12533

This theorem is referenced by: (None)