Theorem omexg 6614

Description: Ordinal multiplication is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem omexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2803	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		0ex 4214	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3		vex 2803	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		omfnex 6612	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V
6	2, 5	rdgexg 6550	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V)
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V
8	7	gen2 1496	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V
9		df-omul 6582	. . 3 ⊢ ·o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦))
10	9	mpofvex 6365	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ V)
11	8, 10	mp3an1 1358	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1393   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ∅c0 3492   ↦ cmpt 4148  Oncon0 4458   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  reccrdg 6530   +_o coa 6574   ·_o comu 6575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581  df-omul 6582

This theorem is referenced by:  fnoei  6615  oeiexg  6616  oeiv  6619  omv2  6628