ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omexg GIF version

Theorem omexg 6470
Description: Ordinal multiplication is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
omexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem omexg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2755 . . . 4 𝑦 ∈ V
2 0ex 4145 . . . . 5 ∅ ∈ V
3 vex 2755 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
4 omfnex 6468 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V
62, 5rdgexg 6408 . . . 4 (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V)
71, 6ax-mp 5 . . 3 (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V
87gen2 1461 . 2 𝑥𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V
9 df-omul 6440 . . 3 ·o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦))
109mpofvex 6222 . 2 ((∀𝑥𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ V)
118, 10mp3an1 1335 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wal 1362  wcel 2160  Vcvv 2752  c0 3437  cmpt 4079  Oncon0 4378   Fn wfn 5226  cfv 5231  (class class class)co 5891  reccrdg 6388   +o coa 6432   ·o comu 6433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-omul 6440
This theorem is referenced by:  fnoei  6471  oeiexg  6472  oeiv  6475  omv2  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator