Theorem omexg 6662

Description: Ordinal multiplication is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem omexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2806	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		0ex 4221	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3		vex 2806	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		omfnex 6660	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V
6	2, 5	rdgexg 6598	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V)
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V
8	7	gen2 1499	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V
9		df-omul 6630	. . 3 ⊢ ·o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦))
10	9	mpofvex 6379	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ V)
11	8, 10	mp3an1 1361	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1396   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ∅c0 3496   ↦ cmpt 4155  Oncon0 4466   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  reccrdg 6578   +_o coa 6622   ·_o comu 6623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630

This theorem is referenced by:  fnoei  6663  oeiexg  6664  oeiv  6667  omv2  6676