Theorem lmodvscad 12788

Description: The scalar product operation of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	|- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
lmodstr.b	|- ( ph -> B e. V )
lmodstr.g	|- ( ph -> .+ e. X )
lmodstr.s	|- ( ph -> F e. Y )
lmodstr.m	|- ( ph -> .x. e. Z )

Assertion

Ref	Expression
lmodvscad	|- ( ph -> .x. = ( .s ` W ) )

Proof of Theorem lmodvscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vscaslid 12783	. 2 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
2		lvecfn.w	. . 3 |- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
3		lmodstr.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		lmodstr.g	. . 3 |- ( ph -> .+ e. X )
5		lmodstr.s	. . 3 |- ( ph -> F e. Y )
6		lmodstr.m	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Z )
7	2, 3, 4, 5, 6	lmodstrd 12784	. 2 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )
8	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) e. NN
9		opexg 4258	. . . . 5 |- ( ( ( .s ` ndx ) e. NN /\ .x. e. Z ) -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. _V )
10	8, 6, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. _V )
11		snidg 3648	. . . 4 |- ( <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. _V -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
12		elun2 3328	. . . 4 |- ( <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) )
14	13, 2	eleqtrrdi 2287	. 2 |- ( ph -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. W )
15	1, 7, 6, 14	opelstrsl 12735	1 |- ( ph -> .x. = ( .s ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3152   {csn 3619   {ctp 3621   <.cop 3622   ` cfv 5255   1c1 7875   NNcn 8984   6c6 9039   ndxcnx 12618  Slot cslot 12620   Basecbs 12621   +g cplusg 12698  Scalarcsca 12701   .scvsca 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-sca 12714  df-vsca 12715

This theorem is referenced by: (None)