ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strop1g Unicode version

Theorem 2strop1g 12080
Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 12077 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str1.g  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. }
2str1.b  |-  ( Base `  ndx )  <  N
2str1.n  |-  N  e.  NN
2str1.e  |-  E  = Slot 
N
Assertion
Ref Expression
2strop1g  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  .+  =  ( E `  G ) )

Proof of Theorem 2strop1g
StepHypRef Expression
1 2str1.e . . 3  |-  E  = Slot 
N
2 2str1.n . . 3  |-  N  e.  NN
31, 2ndxslid 12000 . 2  |-  ( E  = Slot  ( E `  ndx )  /\  ( E `  ndx )  e.  NN )
4 2str1.g . . 3  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. }
5 2str1.b . . 3  |-  ( Base `  ndx )  <  N
64, 5, 22strstr1g 12078 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  G Struct  <. ( Base `  ndx ) ,  N >. )
7 simpr 109 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  .+  e.  W )
8 opexg 4150 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  .+  e.  W )  ->  <. N ,  .+  >.  e. 
_V )
92, 7, 8sylancr 410 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  <. N ,  .+  >.  e. 
_V )
10 prid2g 3628 . . . 4  |-  ( <. N ,  .+  >.  e.  _V  -> 
<. N ,  .+  >.  e. 
{ <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. } )
119, 10syl 14 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  <. N ,  .+  >.  e. 
{ <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. } )
121, 2ndxarg 11998 . . . 4  |-  ( E `
 ndx )  =  N
1312opeq1i 3708 . . 3  |-  <. ( E `  ndx ) , 
.+  >.  =  <. N ,  .+  >.
1411, 13, 43eltr4g 2225 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  <. ( E `  ndx ) ,  .+  >.  e.  G
)
153, 6, 7, 14opelstrsl 12071 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  .+  =  ( E `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {cpr 3528   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123    < clt 7814   NNcn 8734   ndxcnx 11972  Slot cslot 11974   Basecbs 11975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-fz 9805  df-struct 11977  df-ndx 11978  df-slot 11979  df-base 11981
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator