Theorem 2strop1g 13455

Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 13452 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2str1.b	|- ( Base ` ndx ) < N
2str1.n	|- N e. NN
2str1.e	|- E = Slot N

Assertion

Ref	Expression
2strop1g	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( E ` G ) )

Proof of Theorem 2strop1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.e	. . 3 |- E = Slot N
2		2str1.n	. . 3 |- N e. NN
3	1, 2	ndxslid 13355	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
4		2str1.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
5		2str1.b	. . 3 |- ( Base ` ndx ) < N
6	4, 5, 2	2strstr1g 13453	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ e. W )
8		opexg 4363	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. _V )
9	2, 7, 8	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. _V )
10		prid2g 3812	. . . 4 |- ( <. N , .+ >. e. _V -> <. N , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } )
12	1, 2	ndxarg 13353	. . . 4 |- ( E ` ndx ) = N
13	12	opeq1i 3902	. . 3 |- <. ( E ` ndx ) , .+ >. = <. N , .+ >.
14	11, 13, 4	3eltr4g 2324	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. ( E ` ndx ) , .+ >. e. G )
15	3, 6, 7, 14	opelstrsl 13445	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( E ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {cpr 3706   <.cop 3708   class class class wbr 4125   ` cfv 5372   < clt 8350   NNcn 9283   ndxcnx 13327  Slot cslot 13329   Basecbs 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336

This theorem is referenced by: (None)