Theorem 2strop1g 12053

Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 12050 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2str1.b	|- ( Base ` ndx ) < N
2str1.n	|- N e. NN
2str1.e	|- E = Slot N

Assertion

Ref	Expression
2strop1g	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( E ` G ) )

Proof of Theorem 2strop1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.e	. . 3 |- E = Slot N
2		2str1.n	. . 3 |- N e. NN
3	1, 2	ndxslid 11973	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
4		2str1.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
5		2str1.b	. . 3 |- ( Base ` ndx ) < N
6	4, 5, 2	2strstr1g 12051	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )
7		simpr 109	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ e. W )
8		opexg 4145	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. _V )
9	2, 7, 8	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. _V )
10		prid2g 3623	. . . 4 |- ( <. N , .+ >. e. _V -> <. N , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } )
12	1, 2	ndxarg 11971	. . . 4 |- ( E ` ndx ) = N
13	12	opeq1i 3703	. . 3 |- <. ( E ` ndx ) , .+ >. = <. N , .+ >.
14	11, 13, 4	3eltr4g 2223	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. ( E ` ndx ) , .+ >. e. G )
15	3, 6, 7, 14	opelstrsl 12044	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( E ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   {cpr 3523   <.cop 3525   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   < clt 7793   NNcn 8713   ndxcnx 11945  Slot cslot 11947   Basecbs 11948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-struct 11950  df-ndx 11951  df-slot 11952  df-base 11954

This theorem is referenced by: (None)