Theorem 2strop1g 13206

Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 13203 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2str1.b	|- ( Base ` ndx ) < N
2str1.n	|- N e. NN
2str1.e	|- E = Slot N

Assertion

Ref	Expression
2strop1g	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( E ` G ) )

Proof of Theorem 2strop1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.e	. . 3 |- E = Slot N
2		2str1.n	. . 3 |- N e. NN
3	1, 2	ndxslid 13106	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
4		2str1.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
5		2str1.b	. . 3 |- ( Base ` ndx ) < N
6	4, 5, 2	2strstr1g 13204	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ e. W )
8		opexg 4320	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. _V )
9	2, 7, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. _V )
10		prid2g 3776	. . . 4 |- ( <. N , .+ >. e. _V -> <. N , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } )
12	1, 2	ndxarg 13104	. . . 4 |- ( E ` ndx ) = N
13	12	opeq1i 3865	. . 3 |- <. ( E ` ndx ) , .+ >. = <. N , .+ >.
14	11, 13, 4	3eltr4g 2317	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. ( E ` ndx ) , .+ >. e. G )
15	3, 6, 7, 14	opelstrsl 13196	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( E ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   {cpr 3670   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   < clt 8213   NNcn 9142   ndxcnx 13078  Slot cslot 13080   Basecbs 13081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087

This theorem is referenced by: (None)