Theorem 2strop1g 12635

Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 12632 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2str1.b	|- ( Base ` ndx ) < N
2str1.n	|- N e. NN
2str1.e	|- E = Slot N

Assertion

Ref	Expression
2strop1g	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( E ` G ) )

Proof of Theorem 2strop1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.e	. . 3 |- E = Slot N
2		2str1.n	. . 3 |- N e. NN
3	1, 2	ndxslid 12537	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
4		2str1.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
5		2str1.b	. . 3 |- ( Base ` ndx ) < N
6	4, 5, 2	2strstr1g 12633	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ e. W )
8		opexg 4246	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. _V )
9	2, 7, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. _V )
10		prid2g 3712	. . . 4 |- ( <. N , .+ >. e. _V -> <. N , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. N , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } )
12	1, 2	ndxarg 12535	. . . 4 |- ( E ` ndx ) = N
13	12	opeq1i 3796	. . 3 |- <. ( E ` ndx ) , .+ >. = <. N , .+ >.
14	11, 13, 4	3eltr4g 2275	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> <. ( E ` ndx ) , .+ >. e. G )
15	3, 6, 7, 14	opelstrsl 12626	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( E ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {cpr 3608   <.cop 3610   class class class wbr 4018   ` cfv 5235   < clt 8022   NNcn 8949   ndxcnx 12509  Slot cslot 12511   Basecbs 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039  df-struct 12514  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518

This theorem is referenced by: (None)