ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srngplusgd Unicode version

Theorem srngplusgd 12097
Description: The addition operation of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
srngstr.r  |-  R  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } )
srngstrd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
srngstrd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
srngstrd.m  |-  ( ph  ->  .x.  e.  X )
srngstrd.s  |-  ( ph  ->  .*  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
srngplusgd  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )

Proof of Theorem srngplusgd
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12068 . 2  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
2 srngstr.r . . 3  |-  R  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } )
3 srngstrd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
4 srngstrd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
5 srngstrd.m . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  e.  X )
6 srngstrd.s . . 3  |-  ( ph  ->  .*  e.  Y )
72, 3, 4, 5, 6srngstrd 12095 . 2  |-  ( ph  ->  R Struct  <. 1 ,  4
>. )
81simpri 112 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  NN
9 opexg 4150 . . . . 5  |-  ( ( ( +g  `  ndx )  e.  NN  /\  .+  e.  W )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  _V )
108, 4, 9sylancr 410 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  _V )
11 tpid2g 3637 . . . 4  |-  ( <.
( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  _V  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. } )
12 elun1 3243 . . . 4  |-  ( <.
( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } ) )
1310, 11, 123syl 17 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } ) )
1413, 2eleqtrrdi 2233 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  R
)
151, 7, 4, 14opelstrsl 12069 1  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    u. cun 3069   {csn 3527   {ctp 3529   <.cop 3530   ` cfv 5123   1c1 7633   NNcn 8732   4c4 8785   ndxcnx 11970  Slot cslot 11972   Basecbs 11973   +g cplusg 12035   .rcmulr 12036   *rcstv 12037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-struct 11975  df-ndx 11976  df-slot 11977  df-base 11979  df-plusg 12048  df-mulr 12049  df-starv 12050
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator