Theorem srnginvld 13183

Description: The involution function of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	|- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
srngstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
srngstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
srngstrd.m	|- ( ph -> .x. e. X )
srngstrd.s	|- ( ph -> .* e. Y )

Assertion

Ref	Expression
srnginvld	|- ( ph -> .* = ( *r ` R ) )

Proof of Theorem srnginvld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		starvslid 13174	. 2 |- ( *r = Slot ( *r ` ndx ) /\ ( *r ` ndx ) e. NN )
2		srngstr.r	. . 3 |- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
3		srngstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		srngstrd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		srngstrd.m	. . 3 |- ( ph -> .x. e. X )
6		srngstrd.s	. . 3 |- ( ph -> .* e. Y )
7	2, 3, 4, 5, 6	srngstrd 13179	. 2 |- ( ph -> R Struct <. 1 , 4 >. )
8	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( *r ` ndx ) e. NN
9		opexg 4314	. . . . 5 |- ( ( ( *r ` ndx ) e. NN /\ .* e. Y ) -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. _V )
10	8, 6, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. _V )
11		snidg 3695	. . . 4 |- ( <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. _V -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
12		elun2 3372	. . . 4 |- ( <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } ) )
14	13, 2	eleqtrrdi 2323	. 2 |- ( ph -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. R )
15	1, 7, 6, 14	opelstrsl 13147	1 |- ( ph -> .* = ( *r ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   {csn 3666   {ctp 3668   <.cop 3669   ` cfv 5318   1c1 8000   NNcn 9110   4c4 9163   ndxcnx 13029  Slot cslot 13031   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   .rcmulr 13111   *rcstv 13112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-struct 13034  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-starv 13125

This theorem is referenced by: (None)