ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srnginvld Unicode version

Theorem srnginvld 12122
Description: The involution function of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngstr.r  |-  R  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } )
srngstrd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
srngstrd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
srngstrd.m  |-  ( ph  ->  .x.  e.  X )
srngstrd.s  |-  ( ph  ->  .*  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
srnginvld  |-  ( ph  ->  .*  =  ( *r `  R ) )

Proof of Theorem srnginvld
StepHypRef Expression
1 starvslid 12117 . 2  |-  ( *r  = Slot  ( *r `  ndx )  /\  ( *r `  ndx )  e.  NN )
2 srngstr.r . . 3  |-  R  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } )
3 srngstrd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
4 srngstrd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
5 srngstrd.m . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  e.  X )
6 srngstrd.s . . 3  |-  ( ph  ->  .*  e.  Y )
72, 3, 4, 5, 6srngstrd 12118 . 2  |-  ( ph  ->  R Struct  <. 1 ,  4
>. )
81simpri 112 . . . . 5  |-  ( *r `  ndx )  e.  NN
9 opexg 4157 . . . . 5  |-  ( ( ( *r `  ndx )  e.  NN  /\ 
.*  e.  Y )  ->  <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >.  e.  _V )
108, 6, 9sylancr 411 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( *r `  ndx ) ,  .*  >.  e. 
_V )
11 snidg 3560 . . . 4  |-  ( <.
( *r `  ndx ) ,  .*  >.  e. 
_V  ->  <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >.  e.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } )
12 elun2 3248 . . . 4  |-  ( <.
( *r `  ndx ) ,  .*  >.  e. 
{ <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. }  ->  <. (
*r `  ndx ) ,  .*  >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } ) )
1310, 11, 123syl 17 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( *r `  ndx ) ,  .*  >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } ) )
1413, 2eleqtrrdi 2234 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( *r `  ndx ) ,  .*  >.  e.  R )
151, 7, 6, 14opelstrsl 12092 1  |-  ( ph  ->  .*  =  ( *r `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    u. cun 3073   {csn 3531   {ctp 3533   <.cop 3534   ` cfv 5130   1c1 7644   NNcn 8743   4c4 8796   ndxcnx 11993  Slot cslot 11995   Basecbs 11996   +g cplusg 12058   .rcmulr 12059   *rcstv 12060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-tp 3539  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-struct 11998  df-ndx 11999  df-slot 12000  df-base 12002  df-plusg 12071  df-mulr 12072  df-starv 12073
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator