Theorem srnginvld 13380

Description: The involution function of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	|- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
srngstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
srngstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
srngstrd.m	|- ( ph -> .x. e. X )
srngstrd.s	|- ( ph -> .* e. Y )

Assertion

Ref	Expression
srnginvld	|- ( ph -> .* = ( *r ` R ) )

Proof of Theorem srnginvld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		starvslid 13371	. 2 |- ( *r = Slot ( *r ` ndx ) /\ ( *r ` ndx ) e. NN )
2		srngstr.r	. . 3 |- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
3		srngstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		srngstrd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		srngstrd.m	. . 3 |- ( ph -> .x. e. X )
6		srngstrd.s	. . 3 |- ( ph -> .* e. Y )
7	2, 3, 4, 5, 6	srngstrd 13376	. 2 |- ( ph -> R Struct <. 1 , 4 >. )
8	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( *r ` ndx ) e. NN
9		opexg 4346	. . . . 5 |- ( ( ( *r ` ndx ) e. NN /\ .* e. Y ) -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. _V )
10	8, 6, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. _V )
11		snidg 3720	. . . 4 |- ( <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. _V -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
12		elun2 3389	. . . 4 |- ( <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } ) )
14	13, 2	eleqtrrdi 2328	. 2 |- ( ph -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. R )
15	1, 7, 6, 14	opelstrsl 13344	1 |- ( ph -> .* = ( *r ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   u. cun 3211   {csn 3691   {ctp 3693   <.cop 3694   ` cfv 5354   1c1 8130   NNcn 9239   4c4 9292   ndxcnx 13226  Slot cslot 13228   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   .rcmulr 13308   *rcstv 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-struct 13231  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-starv 13322

This theorem is referenced by: (None)