Theorem srnginvld 13484

Description: The involution function of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	|- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
srngstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
srngstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
srngstrd.m	|- ( ph -> .x. e. X )
srngstrd.s	|- ( ph -> .* e. Y )

Assertion

Ref	Expression
srnginvld	|- ( ph -> .* = ( *r ` R ) )

Proof of Theorem srnginvld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		starvslid 13475	. 2 |- ( *r = Slot ( *r ` ndx ) /\ ( *r ` ndx ) e. NN )
2		srngstr.r	. . 3 |- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
3		srngstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		srngstrd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		srngstrd.m	. . 3 |- ( ph -> .x. e. X )
6		srngstrd.s	. . 3 |- ( ph -> .* e. Y )
7	2, 3, 4, 5, 6	srngstrd 13480	. 2 |- ( ph -> R Struct <. 1 , 4 >. )
8	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( *r ` ndx ) e. NN
9		opexg 4366	. . . . 5 |- ( ( ( *r ` ndx ) e. NN /\ .* e. Y ) -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. _V )
10	8, 6, 9	sylancr 418	. . . 4 |- ( ph -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. _V )
11		snidg 3737	. . . 4 |- ( <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. _V -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
12		elun2 3397	. . . 4 |- ( <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } ) )
14	13, 2	eleqtrrdi 2332	. 2 |- ( ph -> <. ( *r ` ndx ) , .* >. e. R )
15	1, 7, 6, 14	opelstrsl 13448	1 |- ( ph -> .* = ( *r ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   {csn 3708   {ctp 3710   <.cop 3711   ` cfv 5375   1c1 8173   NNcn 9286   4c4 9339   ndxcnx 13330  Slot cslot 13332   Basecbs 13333   +g cplusg 13411   .rcmulr 13412   *rcstv 13413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-struct 13335  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-starv 13426

This theorem is referenced by: (None)