Theorem ipsipd 13328

Description: The multiplicative operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsipd	|- ( ph -> I = ( .i ` A ) )

Proof of Theorem ipsipd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipslid 13317	. 2 |- ( .i = Slot ( .i ` ndx ) /\ ( .i ` ndx ) e. NN )
2		ipspart.a	. . 3 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
3		ipsstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		ipsstrd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		ipsstrd.r	. . 3 |- ( ph -> .X. e. X )
6		ipsstrd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Y )
7		ipsstrd.x	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Q )
8		ipsstrd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Z )
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13322	. 2 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )
10	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( .i ` ndx ) e. NN
11		opexg 4326	. . . . 5 |- ( ( ( .i ` ndx ) e. NN /\ I e. Z ) -> <. ( .i ` ndx ) , I >. e. _V )
12	10, 8, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( .i ` ndx ) , I >. e. _V )
13		tpid3g 3791	. . . 4 |- ( <. ( .i ` ndx ) , I >. e. _V -> <. ( .i ` ndx ) , I >. e. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
14		elun2 3377	. . . 4 |- ( <. ( .i ` ndx ) , I >. e. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } -> <. ( .i ` ndx ) , I >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( .i ` ndx ) , I >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
16	15, 2	eleqtrrdi 2325	. 2 |- ( ph -> <. ( .i ` ndx ) , I >. e. A )
17	1, 9, 8, 16	opelstrsl 13260	1 |- ( ph -> I = ( .i ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   u. cun 3199   {ctp 3675   <.cop 3676   ` cfv 5333   1c1 8076   NNcn 9185   8c8 9242   ndxcnx 13142  Slot cslot 13144   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224  Scalarcsca 13226   .scvsca 13227   .icip 13228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-ip 13241

This theorem is referenced by: (None)