Theorem ipsvscad 13287

Description: The scalar product operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsvscad	|- ( ph -> .x. = ( .s ` A ) )

Proof of Theorem ipsvscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vscaslid 13269	. 2 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
2		ipspart.a	. . 3 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
3		ipsstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		ipsstrd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		ipsstrd.r	. . 3 |- ( ph -> .X. e. X )
6		ipsstrd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Y )
7		ipsstrd.x	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Q )
8		ipsstrd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Z )
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13282	. 2 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )
10	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) e. NN
11		opexg 4322	. . . . 5 |- ( ( ( .s ` ndx ) e. NN /\ .x. e. Q ) -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. _V )
12	10, 7, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. _V )
13		tpid2g 3787	. . . 4 |- ( <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. _V -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
14		elun2 3374	. . . 4 |- ( <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
16	15, 2	eleqtrrdi 2324	. 2 |- ( ph -> <. ( .s ` ndx ) , .x. >. e. A )
17	1, 9, 7, 16	opelstrsl 13220	1 |- ( ph -> .x. = ( .s ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   u. cun 3197   {ctp 3672   <.cop 3673   ` cfv 5328   1c1 8038   NNcn 9148   8c8 9205   ndxcnx 13102  Slot cslot 13104   Basecbs 13105   +g cplusg 13183   .rcmulr 13184  Scalarcsca 13186   .scvsca 13187   .icip 13188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201

This theorem is referenced by: (None)