Theorem lmodscad 12095

Description: The set of scalars of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	|- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
lmodstr.b	|- ( ph -> B e. V )
lmodstr.g	|- ( ph -> .+ e. X )
lmodstr.s	|- ( ph -> F e. Y )
lmodstr.m	|- ( ph -> .x. e. Z )

Assertion

Ref	Expression
lmodscad	|- ( ph -> F = (Scalar ` W ) )

Proof of Theorem lmodscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12088	. 2 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2		lvecfn.w	. . 3 |- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
3		lmodstr.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		lmodstr.g	. . 3 |- ( ph -> .+ e. X )
5		lmodstr.s	. . 3 |- ( ph -> F e. Y )
6		lmodstr.m	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Z )
7	2, 3, 4, 5, 6	lmodstrd 12092	. 2 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )
8	1	simpri 112	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
9		opexg 4150	. . . . 5 |- ( ( (Scalar ` ndx ) e. NN /\ F e. Y ) -> <. (Scalar ` ndx ) , F >. e. _V )
10	8, 5, 9	sylancr 410	. . . 4 |- ( ph -> <. (Scalar ` ndx ) , F >. e. _V )
11		tpid3g 3638	. . . 4 |- ( <. (Scalar ` ndx ) , F >. e. _V -> <. (Scalar ` ndx ) , F >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } )
12		elun1 3243	. . . 4 |- ( <. (Scalar ` ndx ) , F >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } -> <. (Scalar ` ndx ) , F >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. (Scalar ` ndx ) , F >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) )
14	13, 2	eleqtrrdi 2233	. 2 |- ( ph -> <. (Scalar ` ndx ) , F >. e. W )
15	1, 7, 5, 14	opelstrsl 12055	1 |- ( ph -> F = (Scalar ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   {csn 3527   {ctp 3529   <.cop 3530   ` cfv 5123   1c1 7621   NNcn 8720   6c6 8775   ndxcnx 11956  Slot cslot 11958   Basecbs 11959   +g cplusg 12021  Scalarcsca 12024   .scvsca 12025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-struct 11961  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965  df-plusg 12034  df-sca 12037  df-vsca 12038

This theorem is referenced by: (None)