ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsmulrd Unicode version

Theorem ipsmulrd 12651
Description: The multiplicative operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
ipsstrd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipsstrd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
ipsstrd.r  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
ipsstrd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
ipsstrd.x  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
ipsstrd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
ipsmulrd  |-  ( ph  ->  .X.  =  ( .r
`  A ) )

Proof of Theorem ipsmulrd
StepHypRef Expression
1 mulrslid 12604 . 2  |-  ( .r  = Slot  ( .r `  ndx )  /\  ( .r `  ndx )  e.  NN )
2 ipspart.a . . 3  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
3 ipsstrd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
4 ipsstrd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
5 ipsstrd.r . . 3  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
6 ipsstrd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
7 ipsstrd.x . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
8 ipsstrd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ipsstrd 12648 . 2  |-  ( ph  ->  A Struct  <. 1 ,  8
>. )
101simpri 113 . . . . 5  |-  ( .r
`  ndx )  e.  NN
11 opexg 4240 . . . . 5  |-  ( ( ( .r `  ndx )  e.  NN  /\  .X.  e.  X )  ->  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >.  e.  _V )
1210, 5, 11sylancr 414 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >.  e.  _V )
13 tpid3g 3719 . . . 4  |-  ( <.
( .r `  ndx ) ,  .X.  >.  e.  _V  -> 
<. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >.  e.  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. } )
14 elun1 3314 . . . 4  |-  ( <.
( .r `  ndx ) ,  .X.  >.  e.  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  ->  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >.  e.  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } ) )
1512, 13, 143syl 17 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } ) )
1615, 2eleqtrrdi 2281 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >.  e.  A
)
171, 9, 5, 16opelstrsl 12587 1  |-  ( ph  ->  .X.  =  ( .r
`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1363    e. wcel 2158   _Vcvv 2749    u. cun 3139   {ctp 3606   <.cop 3607   ` cfv 5228   1c1 7825   NNcn 8932   8c8 8989   ndxcnx 12472  Slot cslot 12474   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   .rcmulr 12551  Scalarcsca 12553   .scvsca 12554   .icip 12555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-tp 3612  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-7 8996  df-8 8997  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-struct 12477  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-ip 12568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator