Theorem ipsmulrd 12651

Description: The multiplicative operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsmulrd	|- ( ph -> .X. = ( .r ` A ) )

Proof of Theorem ipsmulrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 12604	. 2 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
2		ipspart.a	. . 3 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
3		ipsstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		ipsstrd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		ipsstrd.r	. . 3 |- ( ph -> .X. e. X )
6		ipsstrd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Y )
7		ipsstrd.x	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Q )
8		ipsstrd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Z )
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 12648	. 2 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )
10	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) e. NN
11		opexg 4240	. . . . 5 |- ( ( ( .r ` ndx ) e. NN /\ .X. e. X ) -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. _V )
12	10, 5, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. _V )
13		tpid3g 3719	. . . 4 |- ( <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. _V -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } )
14		elun1 3314	. . . 4 |- ( <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
16	15, 2	eleqtrrdi 2281	. 2 |- ( ph -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. A )
17	1, 9, 5, 16	opelstrsl 12587	1 |- ( ph -> .X. = ( .r ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   u. cun 3139   {ctp 3606   <.cop 3607   ` cfv 5228   1c1 7825   NNcn 8932   8c8 8989   ndxcnx 12472  Slot cslot 12474   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   .rcmulr 12551  Scalarcsca 12553   .scvsca 12554   .icip 12555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-tp 3612  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-7 8996  df-8 8997  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-struct 12477  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-ip 12568

This theorem is referenced by: (None)