Theorem ipsmulrd 12866

Description: The multiplicative operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsmulrd	|- ( ph -> .X. = ( .r ` A ) )

Proof of Theorem ipsmulrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 12819	. 2 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
2		ipspart.a	. . 3 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
3		ipsstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		ipsstrd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		ipsstrd.r	. . 3 |- ( ph -> .X. e. X )
6		ipsstrd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Y )
7		ipsstrd.x	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Q )
8		ipsstrd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Z )
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 12863	. 2 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )
10	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) e. NN
11		opexg 4262	. . . . 5 |- ( ( ( .r ` ndx ) e. NN /\ .X. e. X ) -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. _V )
12	10, 5, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. _V )
13		tpid3g 3738	. . . 4 |- ( <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. _V -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } )
14		elun1 3331	. . . 4 |- ( <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
16	15, 2	eleqtrrdi 2290	. 2 |- ( ph -> <. ( .r ` ndx ) , .X. >. e. A )
17	1, 9, 5, 16	opelstrsl 12802	1 |- ( ph -> .X. = ( .r ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   {ctp 3625   <.cop 3626   ` cfv 5259   1c1 7882   NNcn 8992   8c8 9049   ndxcnx 12685  Slot cslot 12687   Basecbs 12688   +g cplusg 12765   .rcmulr 12766  Scalarcsca 12768   .scvsca 12769   .icip 12770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-struct 12690  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-sca 12781  df-vsca 12782  df-ip 12783

This theorem is referenced by: (None)