ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rngplusgg Unicode version

Theorem rngplusgg 12594
Description: The additive operation of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rngfn.r  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
Assertion
Ref Expression
rngplusgg  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )

Proof of Theorem rngplusgg
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12570 . 2  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
2 rngfn.r . . 3  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
32rngstrg 12592 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  R Struct  <.
1 ,  3 >.
)
4 simp2 998 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  .+  e.  W )
51simpri 113 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  NN
6 opexg 4228 . . . . 5  |-  ( ( ( +g  `  ndx )  e.  NN  /\  .+  e.  W )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  _V )
75, 4, 6sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  _V )
8 tpid2g 3706 . . . 4  |-  ( <.
( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  _V  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. } )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. } )
109, 2eleqtrrdi 2271 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  R )
111, 3, 4, 10opelstrsl 12572 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {ctp 3594   <.cop 3595   ` cfv 5216   1c1 7811   NNcn 8918   3c3 8970   ndxcnx 12458  Slot cslot 12460   Basecbs 12461   +g cplusg 12535   .rcmulr 12536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-tp 3600  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-struct 12463  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-plusg 12548  df-mulr 12549
This theorem is referenced by:  ring1  13234
  Copyright terms: Public domain W3C validator