ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rngplusgg Unicode version

Theorem rngplusgg 12595
Description: The additive operation of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rngfn.r  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
Assertion
Ref Expression
rngplusgg  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )

Proof of Theorem rngplusgg
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12571 . 2  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
2 rngfn.r . . 3  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
32rngstrg 12593 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  R Struct  <.
1 ,  3 >.
)
4 simp2 998 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  .+  e.  W )
51simpri 113 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  NN
6 opexg 4229 . . . . 5  |-  ( ( ( +g  `  ndx )  e.  NN  /\  .+  e.  W )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  _V )
75, 4, 6sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  _V )
8 tpid2g 3707 . . . 4  |-  ( <.
( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  _V  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. } )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. } )
109, 2eleqtrrdi 2271 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  R )
111, 3, 4, 10opelstrsl 12573 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2738   {ctp 3595   <.cop 3596   ` cfv 5217   1c1 7812   NNcn 8919   3c3 8971   ndxcnx 12459  Slot cslot 12461   Basecbs 12462   +g cplusg 12536   .rcmulr 12537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-tp 3601  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-struct 12464  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-mulr 12550
This theorem is referenced by:  ring1  13236
  Copyright terms: Public domain W3C validator