Theorem rngplusgg 12076

Description: The additive operation of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngfn.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }

Assertion

Ref	Expression
rngplusgg	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> .+ = ( +g ` R ) )

Proof of Theorem rngplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgslid 12054	. 2 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
2		rngfn.r	. . 3 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }
3	2	rngstrg 12074	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> R Struct <. 1 , 3 >. )
4		simp2 982	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> .+ e. W )
5	1	simpri 112	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
6		opexg 4150	. . . . 5 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ .+ e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V )
7	5, 4, 6	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V )
8		tpid2g 3637	. . . 4 |- ( <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } )
10	9, 2	eleqtrrdi 2233	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. R )
11	1, 3, 4, 10	opelstrsl 12055	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> .+ = ( +g ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {ctp 3529   <.cop 3530   ` cfv 5123   1c1 7621   NNcn 8720   3c3 8772   ndxcnx 11956  Slot cslot 11958   Basecbs 11959   +g cplusg 12021   .rcmulr 12022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-struct 11961  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965  df-plusg 12034  df-mulr 12035

This theorem is referenced by: (None)