Theorem lmodplusgd 12616

Description: The additive operation of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	|- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
lmodstr.b	|- ( ph -> B e. V )
lmodstr.g	|- ( ph -> .+ e. X )
lmodstr.s	|- ( ph -> F e. Y )
lmodstr.m	|- ( ph -> .x. e. Z )

Assertion

Ref	Expression
lmodplusgd	|- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )

Proof of Theorem lmodplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgslid 12563	. 2 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
2		lvecfn.w	. . 3 |- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
3		lmodstr.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		lmodstr.g	. . 3 |- ( ph -> .+ e. X )
5		lmodstr.s	. . 3 |- ( ph -> F e. Y )
6		lmodstr.m	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Z )
7	2, 3, 4, 5, 6	lmodstrd 12614	. 2 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )
8	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
9		opexg 4227	. . . . 5 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ .+ e. X ) -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V )
10	8, 4, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V )
11		tpid2g 3706	. . . 4 |- ( <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } )
12		elun1 3302	. . . 4 |- ( <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) )
14	13, 2	eleqtrrdi 2271	. 2 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. W )
15	1, 7, 4, 14	opelstrsl 12565	1 |- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   u. cun 3127   {csn 3592   {ctp 3594   <.cop 3595   ` cfv 5215   1c1 7809   NNcn 8915   6c6 8970   ndxcnx 12451  Slot cslot 12453   Basecbs 12454   +g cplusg 12528  Scalarcsca 12531   .scvsca 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-tp 3600  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-fz 10005  df-struct 12456  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-sca 12544  df-vsca 12545

This theorem is referenced by: (None)