ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topgrpplusgd Unicode version

Theorem topgrpplusgd 12709
Description: The additive operation of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
topgrpfn.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
topgrpfnd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
topgrpfnd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
topgrpfnd.j  |-  ( ph  ->  J  e.  X )
Assertion
Ref Expression
topgrpplusgd  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  W ) )

Proof of Theorem topgrpplusgd
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12624 . 2  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
2 topgrpfn.w . . 3  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
3 topgrpfnd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
4 topgrpfnd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
5 topgrpfnd.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  X )
62, 3, 4, 5topgrpstrd 12707 . 2  |-  ( ph  ->  W Struct  <. 1 ,  9
>. )
71simpri 113 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  NN
8 opexg 4246 . . . . 5  |-  ( ( ( +g  `  ndx )  e.  NN  /\  .+  e.  W )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  _V )
97, 4, 8sylancr 414 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  _V )
10 tpid2g 3721 . . . 4  |-  ( <.
( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  _V  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. } )
119, 10syl 14 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. } )
1211, 2eleqtrrdi 2283 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  W
)
131, 6, 4, 12opelstrsl 12626 1  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {ctp 3609   <.cop 3610   ` cfv 5235   1c1 7842   NNcn 8949   9c9 9007   ndxcnx 12509  Slot cslot 12511   Basecbs 12512   +g cplusg 12589  TopSetcts 12595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-9 9015  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039  df-struct 12514  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-plusg 12602  df-tset 12608
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator