Theorem topgrpplusgd 13145

Description: The additive operation of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	|- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
topgrpfnd.b	|- ( ph -> B e. V )
topgrpfnd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
topgrpfnd.j	|- ( ph -> J e. X )

Assertion

Ref	Expression
topgrpplusgd	|- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )

Proof of Theorem topgrpplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgslid 13059	. 2 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
2		topgrpfn.w	. . 3 |- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
3		topgrpfnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		topgrpfnd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		topgrpfnd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. X )
6	2, 3, 4, 5	topgrpstrd 13143	. 2 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 9 >. )
7	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
8		opexg 4290	. . . . 5 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ .+ e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V )
9	7, 4, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V )
10		tpid2g 3757	. . . 4 |- ( <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } )
12	11, 2	eleqtrrdi 2301	. 2 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. W )
13	1, 6, 4, 12	opelstrsl 13061	1 |- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {ctp 3645   <.cop 3646   ` cfv 5290   1c1 7961   NNcn 9071   9c9 9129   ndxcnx 12944  Slot cslot 12946   Basecbs 12947   +g cplusg 13024  TopSetcts 13030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-tset 13043

This theorem is referenced by: (None)