Theorem topgrpplusgd 13535

Description: The additive operation of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	|- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
topgrpfnd.b	|- ( ph -> B e. V )
topgrpfnd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
topgrpfnd.j	|- ( ph -> J e. X )

Assertion

Ref	Expression
topgrpplusgd	|- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )

Proof of Theorem topgrpplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgslid 13449	. 2 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
2		topgrpfn.w	. . 3 |- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
3		topgrpfnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		topgrpfnd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		topgrpfnd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. X )
6	2, 3, 4, 5	topgrpstrd 13533	. 2 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 9 >. )
7	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
8		opexg 4366	. . . . 5 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ .+ e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V )
9	7, 4, 8	sylancr 418	. . . 4 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V )
10		tpid2g 3825	. . . 4 |- ( <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. _V -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } )
12	11, 2	eleqtrrdi 2332	. 2 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , .+ >. e. W )
13	1, 6, 4, 12	opelstrsl 13451	1 |- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {ctp 3710   <.cop 3711   ` cfv 5375   1c1 8174   NNcn 9287   9c9 9345   ndxcnx 13332  Slot cslot 13334   Basecbs 13335   +g cplusg 13414  TopSetcts 13420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-tset 13433

This theorem is referenced by: (None)