ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsaddgd Unicode version

Theorem ipsaddgd 12029
Description: The additive operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
ipsstrd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipsstrd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
ipsstrd.r  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
ipsstrd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
ipsstrd.x  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
ipsstrd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
ipsaddgd  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  A ) )

Proof of Theorem ipsaddgd
StepHypRef Expression
1 plusgslid 11981 . 2  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
2 ipspart.a . . 3  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
3 ipsstrd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
4 ipsstrd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
5 ipsstrd.r . . 3  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
6 ipsstrd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
7 ipsstrd.x . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
8 ipsstrd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ipsstrd 12027 . 2  |-  ( ph  ->  A Struct  <. 1 ,  8
>. )
101simpri 112 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  NN
11 opexg 4120 . . . . 5  |-  ( ( ( +g  `  ndx )  e.  NN  /\  .+  e.  W )  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  _V )
1210, 4, 11sylancr 410 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  _V )
13 tpid2g 3607 . . . 4  |-  ( <.
( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  _V  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. } )
14 elun1 3213 . . . 4  |-  ( <.
( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  ->  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } ) )
1512, 13, 143syl 17 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } ) )
1615, 2eleqtrrdi 2211 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >.  e.  A
)
171, 9, 4, 16opelstrsl 11982 1  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    u. cun 3039   {ctp 3499   <.cop 3500   ` cfv 5093   1c1 7589   NNcn 8688   8c8 8745   ndxcnx 11883  Slot cslot 11885   Basecbs 11886   +g cplusg 11948   .rcmulr 11949  Scalarcsca 11951   .scvsca 11952   .icip 11953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-tp 3505  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-struct 11888  df-ndx 11889  df-slot 11890  df-base 11892  df-plusg 11961  df-mulr 11962  df-sca 11964  df-vsca 11965  df-ip 11966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator