Theorem ipsscad 12857

Description: The set of scalars of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsscad	|- ( ph -> S = (Scalar ` A ) )

Proof of Theorem ipsscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12830	. 2 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2		ipspart.a	. . 3 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
3		ipsstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		ipsstrd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
5		ipsstrd.r	. . 3 |- ( ph -> .X. e. X )
6		ipsstrd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Y )
7		ipsstrd.x	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Q )
8		ipsstrd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Z )
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 12853	. 2 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )
10	1	simpri 113	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
11		opexg 4261	. . . . 5 |- ( ( (Scalar ` ndx ) e. NN /\ S e. Y ) -> <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. _V )
12	10, 6, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. _V )
13		tpid1g 3734	. . . 4 |- ( <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. _V -> <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
14		elun2 3331	. . . 4 |- ( <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } -> <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
16	15, 2	eleqtrrdi 2290	. 2 |- ( ph -> <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. A )
17	1, 9, 6, 16	opelstrsl 12792	1 |- ( ph -> S = (Scalar ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   {ctp 3624   <.cop 3625   ` cfv 5258   1c1 7880   NNcn 8990   8c8 9047   ndxcnx 12675  Slot cslot 12677   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   .icip 12760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773

This theorem is referenced by: (None)