Theorem opvtxfv 15892

Description: The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opvtxfv	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

Proof of Theorem opvtxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4775	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. V , E >. e. ( _V X. _V ) )
2		opvtxval 15891	. . 3 |- ( <. V , E >. e. ( _V X. _V ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
4		op1stg 6313	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( 1st ` <. V , E >. ) = V )
5	3, 4	eqtrd 2264	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   <.cop 3672   X. cxp 4723   ` cfv 5326   1stc1st 6301  Vtxcvtx 15882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-1st 6303  df-inn 9144  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-vtx 15884

This theorem is referenced by:  opvtxov  15893  opvtxfvi  15897  gropd  15917  isuhgropm  15951  uhgrunop  15957  upgrop  15974  upgr1eopdc  15993  upgr1een  15994  umgr1een  15995  upgrunop  15997  umgrunop  15999  isuspgropen  16034  isusgropen  16035  ausgrusgrben  16038  uspgr1eopdc  16113  usgr1eop  16115  uhgrspanop  16152  vtxdgop  16162  p1evtxdeqfilem  16181  p1evtxdeqfi  16182  p1evtxdp1fi  16183  eupthvdres  16345  eupth2lem3fi  16346  eupth2lembfi  16347  konigsbergvtx  16352  konigsberg  16363