Theorem opvtxfv 16177

Description: The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opvtxfv	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

Proof of Theorem opvtxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4819	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. V , E >. e. ( _V X. _V ) )
2		opvtxval 16176	. . 3 |- ( <. V , E >. e. ( _V X. _V ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
4		op1stg 6374	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( 1st ` <. V , E >. ) = V )
5	3, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3708   X. cxp 4767   ` cfv 5372   1stc1st 6362  Vtxcvtx 16167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fo 5378  df-fv 5380  df-1st 6364  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-vtx 16169

This theorem is referenced by:  opvtxov  16178  opvtxfvi  16182  gropd  16202  isuhgropm  16236  uhgrunop  16242  upgrop  16259  upgr1eopdc  16278  upgr1een  16279  umgr1een  16280  upgrunop  16282  umgrunop  16284  isuspgropen  16319  isusgropen  16320  ausgrusgrben  16323  uspgr1eopdc  16398  usgr1eop  16400  uhgrspanop  16437  vtxdgop  16447  p1evtxdeqfilem  16466  p1evtxdeqfi  16467  p1evtxdp1fi  16468  eupthvdres  16630  eupth2lem3fi  16631  eupth2lembfi  16632  konigsbergvtx  16637  konigsberg  16648