Theorem opvtxfv 16017

Description: The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opvtxfv	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

Proof of Theorem opvtxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4799	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. V , E >. e. ( _V X. _V ) )
2		opvtxval 16016	. . 3 |- ( <. V , E >. e. ( _V X. _V ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
4		op1stg 6344	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( 1st ` <. V , E >. ) = V )
5	3, 4	eqtrd 2265	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   <.cop 3692   X. cxp 4747   ` cfv 5352   1stc1st 6332  Vtxcvtx 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fo 5358  df-fv 5360  df-1st 6334  df-inn 9238  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-vtx 16009

This theorem is referenced by:  opvtxov  16018  opvtxfvi  16022  gropd  16042  isuhgropm  16076  uhgrunop  16082  upgrop  16099  upgr1eopdc  16118  upgr1een  16119  umgr1een  16120  upgrunop  16122  umgrunop  16124  isuspgropen  16159  isusgropen  16160  ausgrusgrben  16163  uspgr1eopdc  16238  usgr1eop  16240  uhgrspanop  16277  vtxdgop  16287  p1evtxdeqfilem  16306  p1evtxdeqfi  16307  p1evtxdp1fi  16308  eupthvdres  16470  eupth2lem3fi  16471  eupth2lembfi  16472  konigsbergvtx  16477  konigsberg  16488