Theorem opvtxfv 16361

Description: The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opvtxfv	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

Proof of Theorem opvtxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4824	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. V , E >. e. ( _V X. _V ) )
2		opvtxval 16360	. . 3 |- ( <. V , E >. e. ( _V X. _V ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
4		op1stg 6384	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( 1st ` <. V , E >. ) = V )
5	3, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   X. cxp 4772   ` cfv 5377   1stc1st 6372  Vtxcvtx 16351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-1st 6374  df-inn 9307  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-vtx 16353

This theorem is used by:  opvtxov  16362  opvtxfvi  16366  gropd  16386  isuhgropm  16420  uhgrunop  16426  upgrop  16443  upgr1eopdc  16462  upgr1een  16463  umgr1een  16464  upgrunop  16466  umgrunop  16468  isuspgropen  16503  isusgropen  16504  ausgrusgrben  16507  uspgr1eopdc  16582  usgr1eop  16584  uhgrspanop  16621  vtxdgop  16631  p1evtxdeqfilem  16650  p1evtxdeqfi  16651  p1evtxdp1fi  16652  eupthvdres  16814  eupth2lem3fi  16815  eupth2lembfi  16816  konigsbergvtx  16821  konigsberg  16832