Theorem opvtxfv 16468

Description: The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opvtxfv	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

Proof of Theorem opvtxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4826	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. V , E >. e. ( _V X. _V ) )
2		opvtxval 16467	. . 3 |- ( <. V , E >. e. ( _V X. _V ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = ( 1st ` <. V , E >. ) )
4		op1stg 6388	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( 1st ` <. V , E >. ) = V )
5	3, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   X. cxp 4774   ` cfv 5380   1stc1st 6376  Vtxcvtx 16458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fo 5386  df-fv 5388  df-1st 6378  df-inn 9314  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-vtx 16460

This theorem is used by:  opvtxov  16469  opvtxfvi  16473  gropd  16493  isuhgropm  16527  uhgrunop  16533  upgrop  16550  upgr1eopdc  16569  upgr1een  16570  umgr1een  16571  upgrunop  16573  umgrunop  16575  isuspgropen  16610  isusgropen  16611  ausgrusgrben  16614  uspgr1eopdc  16689  usgr1eop  16691  uhgrspanop  16728  vtxdgop  16738  p1evtxdeqfilem  16757  p1evtxdeqfi  16758  p1evtxdp1fi  16759  eupthvdres  16921  eupth2lem3fi  16922  eupth2lembfi  16923  konigsbergvtx  16928  konigsberg  16939