Theorem isusgropen 16406

Description: The property of being an undirected simple graph represented as an ordered pair. The representation as an ordered pair is the usual representation of a graph, see section I.1 of [Bollobas] p. 1. (Contributed by AV, 30-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isusgropen	|- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. USGraph <-> E : dom E -1-1-> { p e. ~P V | p ~~ 2o } ) )

Distinct variable groups:   E, p   V, p   W, p   X, p

Proof of Theorem isusgropen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4368	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> <. V , E >. e. _V )
2		eqid 2238	. . . 4 |- (Vtx ` <. V , E >. ) = (Vtx ` <. V , E >. )
3		eqid 2238	. . . 4 |- (iEdg ` <. V , E >. ) = (iEdg ` <. V , E >. )
4	2, 3	isusgren 16399	. . 3 |- ( <. V , E >. e. _V -> ( <. V , E >. e. USGraph <-> (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | p ~~ 2o } ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. USGraph <-> (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | p ~~ 2o } ) )
6		opiedgfv 16266	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> (iEdg ` <. V , E >. ) = E )
7	6	dmeqd 4983	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> dom (iEdg ` <. V , E >. ) = dom E )
8		opvtxfv 16263	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )
9	8	pweqd 3693	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ~P (Vtx ` <. V , E >. ) = ~P V )
10	9	rabeqdv 2815	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | p ~~ 2o } = { p e. ~P V | p ~~ 2o } )
11	6, 7, 10	f1eq123d 5631	. 2 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | p ~~ 2o } <-> E : dom E -1-1-> { p e. ~P V | p ~~ 2o } ) )
12	5, 11	bitrd 188	1 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. USGraph <-> E : dom E -1-1-> { p e. ~P V | p ~~ 2o } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3688   <.cop 3712   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   -1-1->wf1 5374   ` cfv 5377   2oc2o 6681   ~~ cen 7020  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  USGraphcusgr 16395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-sub 8499  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-dec 9778  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-usgren 16397

This theorem is used by:  usgrop  16407