ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  usgr1eop Unicode version
Theorem usgr1eop 16064
Description: A simple graph with (at least) two different vertices and one edge. If the two vertices were not different, the edge would be a loop. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr1eop |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )
Proof of Theorem usgr1eop
StepHypRef Expression
1 eqid 2229 . . 3 |- (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. )
2 simpllr 534 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> A e. X )
3 simplrl 535 . . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. V )
4 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> V e. W )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> V e. W )
6 simplr 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> A e. X )
7 prexg 4296 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
87adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { B , C } e. _V )
9 opexg 4315 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ { B , C } e. _V ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
106, 8, 9syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
11 snexg 4269 . . . . . . 7 |- ( <. A , { B , C } >. e. _V -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
1210, 11syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
1312adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
14 opvtxfv 15844 . . . . 5 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
155, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
163, 15eleqtrrd 2309 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
17 simprr 531 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. V )
184, 12, 14syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
1917, 18eleqtrrd 2309 . . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
2019adantr 276 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
21 opiedgfv 15847 . . . 4 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
225, 13, 21syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
23 simpr 110 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B =/= C )
241, 2, 16, 20, 22, 23usgr1e 16060 . 2 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph )
2524ex 115 1 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2799   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669   ` cfv 5321  Vtxcvtx 15834  iEdgciedg 15835  USGraphcusgr 15973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-edg 15880  df-uspgren 15974  df-usgren 15975
This theorem is referenced by:  usgr2v1e2w  16065
  Copyright terms: Public domain W3C validator