ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  usgr1eop Unicode version
Theorem usgr1eop 16703
Description: A simple graph with (at least) two different vertices and one edge. If the two vertices were not different, the edge would be a loop. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr1eop |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )
Proof of Theorem usgr1eop
StepHypRef Expression
1 eqid 2238 . . 3 |- (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. )
2 simpllr 540 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> A e. X )
3 simplrl 541 . . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. V )
4 simpll 531 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> V e. W )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> V e. W )
6 simplr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> A e. X )
7 prexg 4351 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
87adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { B , C } e. _V )
9 opexg 4370 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ { B , C } e. _V ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
106, 8, 9syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
11 snexg 4323 . . . . . . 7 |- ( <. A , { B , C } >. e. _V -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
1210, 11syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
1312adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
14 opvtxfv 16480 . . . . 5 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
155, 13, 14syl2anc 415 . . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
163, 15eleqtrrd 2318 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
17 simprr 537 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. V )
184, 12, 14syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
1917, 18eleqtrrd 2318 . . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
2019adantr 276 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
21 opiedgfv 16483 . . . 4 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
225, 13, 21syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
23 simpr 110 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B =/= C )
241, 2, 16, 20, 22, 23usgr1e 16699 . 2 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph )
2524ex 115 1 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   {csn 3709   {cpr 3710   <.cop 3712   ` cfv 5380  Vtxcvtx 16470  iEdgciedg 16471  USGraphcusgr 16612
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7028  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-edg 16516  df-uspgren 16613  df-usgren 16614
This theorem is used by:  usgr2v1e2w  16704
  Copyright terms: Public domain W3C validator