ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  usgr1eop Unicode version
Theorem usgr1eop 16089
Description: A simple graph with (at least) two different vertices and one edge. If the two vertices were not different, the edge would be a loop. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr1eop |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )
Proof of Theorem usgr1eop
StepHypRef Expression
1 eqid 2229 . . 3 |- (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. )
2 simpllr 534 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> A e. X )
3 simplrl 535 . . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. V )
4 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> V e. W )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> V e. W )
6 simplr 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> A e. X )
7 prexg 4299 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
87adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { B , C } e. _V )
9 opexg 4318 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ { B , C } e. _V ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
106, 8, 9syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
11 snexg 4272 . . . . . . 7 |- ( <. A , { B , C } >. e. _V -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
1210, 11syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
1312adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
14 opvtxfv 15866 . . . . 5 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
155, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
163, 15eleqtrrd 2309 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
17 simprr 531 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. V )
184, 12, 14syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
1917, 18eleqtrrd 2309 . . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
2019adantr 276 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
21 opiedgfv 15869 . . . 4 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
225, 13, 21syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
23 simpr 110 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B =/= C )
241, 2, 16, 20, 22, 23usgr1e 16085 . 2 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph )
2524ex 115 1 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2800   {csn 3667   {cpr 3668   <.cop 3670   ` cfv 5324  Vtxcvtx 15856  iEdgciedg 15857  USGraphcusgr 15998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-edg 15902  df-uspgren 15999  df-usgren 16000
This theorem is referenced by:  usgr2v1e2w  16090
  Copyright terms: Public domain W3C validator