Theorem usgr1eop 16498

Description: A simple graph with (at least) two different vertices and one edge. If the two vertices were not different, the edge would be a loop. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr1eop	|- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )

Proof of Theorem usgr1eop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. )
2		simpllr 540	. . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> A e. X )
3		simplrl 541	. . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. V )
4		simpll 531	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> V e. W )
5	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> V e. W )
6		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> A e. X )
7		prexg 4349	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
8	7	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { B , C } e. _V )
9		opexg 4368	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ { B , C } e. _V ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
10	6, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
11		snexg 4321	. . . . . . 7 |- ( <. A , { B , C } >. e. _V -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
14		opvtxfv 16275	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
15	5, 13, 14	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
16	3, 15	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
17		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. V )
18	4, 12, 14	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
19	17, 18	eleqtrrd 2318	. . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
20	19	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
21		opiedgfv 16278	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
22	5, 13, 21	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
23		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B =/= C )
24	1, 2, 16, 20, 22, 23	usgr1e 16494	. 2 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph )
25	24	ex 115	1 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   {csn 3709   {cpr 3710   <.cop 3712   ` cfv 5377  Vtxcvtx 16265  iEdgciedg 16266  USGraphcusgr 16407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-sub 8499  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-dec 9780  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-edg 16311  df-uspgren 16408  df-usgren 16409

This theorem is used by:  usgr2v1e2w  16499