ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  usgr1eop Unicode version
Theorem usgr1eop 16125
Description: A simple graph with (at least) two different vertices and one edge. If the two vertices were not different, the edge would be a loop. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr1eop |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )
Proof of Theorem usgr1eop
StepHypRef Expression
1 eqid 2230 . . 3 |- (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. )
2 simpllr 536 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> A e. X )
3 simplrl 537 . . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. V )
4 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> V e. W )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> V e. W )
6 simplr 529 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> A e. X )
7 prexg 4303 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
87adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { B , C } e. _V )
9 opexg 4322 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ { B , C } e. _V ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
106, 8, 9syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
11 snexg 4276 . . . . . . 7 |- ( <. A , { B , C } >. e. _V -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
1210, 11syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
1312adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
14 opvtxfv 15902 . . . . 5 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
155, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
163, 15eleqtrrd 2310 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
17 simprr 533 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. V )
184, 12, 14syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
1917, 18eleqtrrd 2310 . . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
2019adantr 276 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
21 opiedgfv 15905 . . . 4 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
225, 13, 21syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
23 simpr 110 . . 3 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> B =/= C )
241, 2, 16, 20, 22, 23usgr1e 16121 . 2 |- ( ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) /\ B =/= C ) -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph )
2524ex 115 1 |- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( B =/= C -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USGraph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   =/= wne 2401   _Vcvv 2801   {csn 3670   {cpr 3671   <.cop 3673   ` cfv 5328  Vtxcvtx 15892  iEdgciedg 15893  USGraphcusgr 16034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-sub 8357  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-dec 9617  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-edgf 15885  df-vtx 15894  df-iedg 15895  df-edg 15938  df-uspgren 16035  df-usgren 16036
This theorem is referenced by:  usgr2v1e2w  16126
  Copyright terms: Public domain W3C validator