Theorem isuhgropm 15846

Description: The property of being an undirected hypergraph represented as an ordered pair. The representation as an ordered pair is the usual representation of a graph, see section I.1 of [Bollobas] p. 1. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isuhgropm	|- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. UHGraph <-> E : dom E --> { s e. ~P V | E. j j e. s } ) )

Distinct variable groups:   E, s   V, s   j, s

Allowed substitution hints:   E( j)   V( j)   W( j, s)   X( j, s)

Proof of Theorem isuhgropm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4293	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> <. V , E >. e. _V )
2		eqid 2209	. . . 4 |- (Vtx ` <. V , E >. ) = (Vtx ` <. V , E >. )
3		eqid 2209	. . . 4 |- (iEdg ` <. V , E >. ) = (iEdg ` <. V , E >. )
4	2, 3	isuhgrm 15836	. . 3 |- ( <. V , E >. e. _V -> ( <. V , E >. e. UHGraph <-> (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) --> { s e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | E. j j e. s } ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. UHGraph <-> (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) --> { s e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | E. j j e. s } ) )
6		opiedgfv 15791	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> (iEdg ` <. V , E >. ) = E )
7	6	dmeqd 4902	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> dom (iEdg ` <. V , E >. ) = dom E )
8		opvtxfv 15788	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )
9	8	pweqd 3634	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ~P (Vtx ` <. V , E >. ) = ~P V )
10	9	rabeqdv 2773	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> { s e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | E. j j e. s } = { s e. ~P V | E. j j e. s } )
11	6, 7, 10	feq123d 5440	. 2 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) --> { s e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | E. j j e. s } <-> E : dom E --> { s e. ~P V | E. j j e. s } ) )
12	5, 11	bitrd 188	1 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. UHGraph <-> E : dom E --> { s e. ~P V | E. j j e. s } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1518   e. wcel 2180   {crab 2492   _Vcvv 2779   ~Pcpw 3629   <.cop 3649   dom cdm 4696   -->wf 5290   ` cfv 5294  Vtxcvtx 15778  iEdgciedg 15779  UHGraphcuhgr 15832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fo 5300  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-sub 8287  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-dec 9547  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-edgf 15771  df-vtx 15780  df-iedg 15781  df-uhgrm 15834

This theorem is referenced by: (None)