Theorem upgr1eopdc 15931

Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1eopdc.v	|- ( ph -> V e. W )
upgr1eopdc.a	|- ( ph -> A e. X )
upgr1eopdc.b	|- ( ph -> B e. V )
upgr1eopdc.c	|- ( ph -> C e. V )
upgr1eopdc.dc	|- ( ph -> DECID B = C )

Assertion

Ref	Expression
upgr1eopdc	|- ( ph -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. UPGraph )

Proof of Theorem upgr1eopdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 |- (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. )
2		upgr1eopdc.a	. 2 |- ( ph -> A e. X )
3		upgr1eopdc.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		upgr1eopdc.v	. . . 4 |- ( ph -> V e. W )
5		upgr1eopdc.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. V )
6		prexg 4295	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> { B , C } e. _V )
8		opexg 4314	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ { B , C } e. _V ) -> <. A , { B , C } >. e. _V )
9	2, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> <. A , { B , C } >. e. _V )
10		snexg 4268	. . . . 5 |- ( <. A , { B , C } >. e. _V -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } e. _V )
12		opvtxfv 15831	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V )
14	3, 13	eleqtrrd 2309	. 2 |- ( ph -> B e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
15	5, 13	eleqtrrd 2309	. 2 |- ( ph -> C e. (Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) )
16		upgr1eopdc.dc	. 2 |- ( ph -> DECID B = C )
17		opiedgfv 15834	. . 3 |- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
18	4, 11, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } )
19	1, 2, 14, 15, 16, 18	upgr1edc 15929	1 |- ( ph -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. UPGraph )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669   ` cfv 5318  Vtxcvtx 15821  iEdgciedg 15822  UPGraphcupgr 15899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-upgren 15901

This theorem is referenced by: (None)