Theorem isuspgropen 16176

Description: The property of being an undirected simple pseudograph represented as an ordered pair. The representation as an ordered pair is the usual representation of a graph, see section I.1 of [Bollobas] p. 1. (Contributed by AV, 25-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isuspgropen	|- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. USPGraph <-> E : dom E -1-1-> { p e. ~P V | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )

Distinct variable groups:   E, p   V, p   W, p   X, p

Proof of Theorem isuspgropen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4346	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> <. V , E >. e. _V )
2		eqid 2234	. . . 4 |- (Vtx ` <. V , E >. ) = (Vtx ` <. V , E >. )
3		eqid 2234	. . . 4 |- (iEdg ` <. V , E >. ) = (iEdg ` <. V , E >. )
4	2, 3	isuspgren 16169	. . 3 |- ( <. V , E >. e. _V -> ( <. V , E >. e. USPGraph <-> (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. USPGraph <-> (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )
6		opiedgfv 16037	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> (iEdg ` <. V , E >. ) = E )
7	6	dmeqd 4960	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> dom (iEdg ` <. V , E >. ) = dom E )
8		opvtxfv 16034	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )
9	8	pweqd 3676	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ~P (Vtx ` <. V , E >. ) = ~P V )
10	9	rabeqdv 2809	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } = { p e. ~P V | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } )
11	6, 7, 10	f1eq123d 5608	. 2 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } <-> E : dom E -1-1-> { p e. ~P V | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )
12	5, 11	bitrd 188	1 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. USPGraph <-> E : dom E -1-1-> { p e. ~P V | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   ~Pcpw 3671   <.cop 3694   class class class wbr 4111   dom cdm 4751   -1-1->wf1 5351   ` cfv 5354   1oc1o 6642   2oc2o 6643   ~~ cen 6975  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  USPGraphcuspgr 16165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-sub 8448  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-dec 9713  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-uspgren 16167

This theorem is referenced by: (None)