Theorem isuspgropen 16042

Description: The property of being an undirected simple pseudograph represented as an ordered pair. The representation as an ordered pair is the usual representation of a graph, see section I.1 of [Bollobas] p. 1. (Contributed by AV, 25-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isuspgropen	|- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. USPGraph <-> E : dom E -1-1-> { p e. ~P V | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )

Distinct variable groups:   E, p   V, p   W, p   X, p

Proof of Theorem isuspgropen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4320	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> <. V , E >. e. _V )
2		eqid 2231	. . . 4 |- (Vtx ` <. V , E >. ) = (Vtx ` <. V , E >. )
3		eqid 2231	. . . 4 |- (iEdg ` <. V , E >. ) = (iEdg ` <. V , E >. )
4	2, 3	isuspgren 16035	. . 3 |- ( <. V , E >. e. _V -> ( <. V , E >. e. USPGraph <-> (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. USPGraph <-> (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )
6		opiedgfv 15903	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> (iEdg ` <. V , E >. ) = E )
7	6	dmeqd 4933	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> dom (iEdg ` <. V , E >. ) = dom E )
8		opvtxfv 15900	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )
9	8	pweqd 3657	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ~P (Vtx ` <. V , E >. ) = ~P V )
10	9	rabeqdv 2796	. . 3 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } = { p e. ~P V | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } )
11	6, 7, 10	f1eq123d 5576	. 2 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( (iEdg ` <. V , E >. ) : dom (iEdg ` <. V , E >. ) -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` <. V , E >. ) | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } <-> E : dom E -1-1-> { p e. ~P V | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )
12	5, 11	bitrd 188	1 |- ( ( V e. W /\ E e. X ) -> ( <. V , E >. e. USPGraph <-> E : dom E -1-1-> { p e. ~P V | ( p ~~ 1o \/ p ~~ 2o ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   e. wcel 2202   {crab 2514   _Vcvv 2802   ~Pcpw 3652   <.cop 3672   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   -1-1->wf1 5323   ` cfv 5326   1oc1o 6578   2oc2o 6579   ~~ cen 6910  Vtxcvtx 15890  iEdgciedg 15891  USPGraphcuspgr 16031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-sub 8355  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-dec 9615  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-uspgren 16033

This theorem is referenced by: (None)