Theorem peano2uzr 9602

Description: Reversed second Peano axiom for upper integers. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uzr	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 9556	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. CC )
2		ax-1cn 7921	. . . 4 |- 1 e. CC
3		npcan 8183	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
5	4	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
6		eluzp1m1 9568	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
7		peano2uz 9600	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
9	5, 8	eqeltrrd 2266	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2159   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   CCcc 7826   1c1 7829   + caddc 7831   - cmin 8145   ZZcz 9270   ZZ>=cuz 9545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-inn 8937  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546

This theorem is referenced by:  peano2fzr  10054  seq3coll  10839