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Theorem seqsplitg 10550
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seqsplitg.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  V )
seqsplitg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
seqsplit.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqsplit.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seqsplitg  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    x, y, z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem seqsplitg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 10088 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
6 fveq2 5546 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
76oveq2d 5926 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 230 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 fveq2 5546 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )
1413oveq2d 5926 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )
1611, 15imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
1716imbi2d 230 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) ) )
18 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5546 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2120oveq2d 5926 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 230 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 fveq2 5546 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
2827oveq2d 5926 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
2926, 28eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
3025, 29imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3130imbi2d 230 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) ) )
32 seqsplit.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 seqsplitg.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
34 seqsplitg.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .+  e.  V )
35 seqp1g 10527 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  F  e.  W  /\  .+  e.  V )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
37 eluzel2 9587 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
381, 37syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
39 seq1g 10524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  F  e.  W  /\  .+  e.  V )  -> 
(  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 ( M  + 
1 ) ) )
4038, 33, 34, 39syl3anc 1249 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( F `  ( M  +  1 ) ) )
4140oveq2d 5926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
4236, 41eqtr4d 2229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) ) ) )
4342a1i13 24 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
44 peano2fzr 10093 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4544adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
4645expr 375 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4746imim1d 75 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
48 oveq1 5917 . . . . . 6  |-  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
49 simprl 529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
50 peano2uz 9638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5132, 50syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
5251adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
53 uztrn 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5449, 52, 53syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5533adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  F  e.  W )
5634adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  .+  e.  V )
57 seqp1g 10527 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  F  e.  W  /\  .+  e.  V )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5854, 55, 56, 57syl3anc 1249 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
59 seqp1g 10527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  F  e.  W  /\  .+  e.  V )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6049, 55, 56, 59syl3anc 1249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6160oveq2d 5926 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
62 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
63 eluzelz 9591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
6432, 63syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
65 peano2uzr 9640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6664, 1, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
67 fzss2 10120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... M )  C_  ( K ... N ) )
6866, 67syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ... M
)  C_  ( K ... N ) )
6968sselda 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
70 seqsplit.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7169, 70syldan 282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
72 seqsplit.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7332, 71, 72, 33, 34seqclg 10533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
7473adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S )
75 elfzuz3 10078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
76 fzss2 10120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... n )  C_  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
7745, 75, 763syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
78 fzss1 10119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( K ... N ) )
7932, 50, 783syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N ) )
8079adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( K ... N ) )
8177, 80sstrd 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( K ... N ) )
8281sselda 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
8370adantlr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8482, 83syldan 282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8572adantlr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8649, 84, 85, 55, 56seqclg 10533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
87 fveq2 5546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8887eleq1d 2262 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
8970ralrimiva 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
9089adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( K ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
91 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
92 ssel2 3174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
9379, 91, 92syl2an 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
9488, 90, 93rspcdva 2869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
95 seqsplit.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9695caovassg 6069 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S  /\  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9762, 74, 86, 94, 96syl13anc 1251 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9861, 97eqtr4d 2229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
9958, 98eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
10048, 99imbitrrid 156 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
10147, 100animpimp2impd 559 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
10210, 17, 24, 31, 43, 101uzind4 9643 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
1031, 102mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
1043, 103mpd 13 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2164   A.wral 2472    C_ wss 3153   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   1c1 7863    + caddc 7865   ZZcz 9307   ZZ>=cuz 9582   ...cfz 10064    seqcseq 10508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509
This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10581
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