Theorem seqsplitg 10795

Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqsplit.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqsplit.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqsplit.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seqsplitg.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqsplitg.f	|- ( ph -> F e. W )
seqsplit.4	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
seqsplit.5	|- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seqsplitg	|- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, K, y, z   x, M, y, z   ph, x, y, z   x, N, y, z   x, .+ , y, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)   W( x, y, z)

Proof of Theorem seqsplitg

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqsplit.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2		eluzfz2 10310	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
4		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
5		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) )
6		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) )
7	6	oveq2d 6044	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
12		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` n ) )
13		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) )
14	13	oveq2d 6044	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
19		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
20		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
21	20	oveq2d 6044	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` N ) )
27		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) )
28	27	oveq2d 6044	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) ) )
32		seqsplit.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
33		seqsplitg.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. W )
34		seqsplitg.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> .+ e. V )
35		seqp1g 10772	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
37		eluzel2 9803	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
39		seq1g 10769	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( F ` ( M + 1 ) ) )
40	38, 33, 34, 39	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( F ` ( M + 1 ) ) )
41	40	oveq2d 6044	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
42	36, 41	eqtr4d 2267	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) )
43	42	a1i13 24	. . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
44		peano2fzr 10315	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
45	44	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
46	45	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
47	46	imim1d 75	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )
48		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
49		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
50		peano2uz 9860	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
51	32, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
53		uztrn 9816	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
54	49, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
55	33	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> F e. W )
56	34	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> .+ e. V )
57		seqp1g 10772	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` K ) /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
59		seqp1g 10772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
60	49, 55, 56, 59	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	60	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
62		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ph )
63		eluzelz 9808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
64	32, 63	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. ZZ )
65		peano2uzr 9862	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
66	64, 1, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
67		fzss2 10342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... M ) C_ ( K ... N ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ... M ) C_ ( K ... N ) )
69	68	sselda 3228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... M ) ) -> x e. ( K ... N ) )
70		seqsplit.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
71	69, 70	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
72		seqsplit.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
73	32, 71, 72, 33, 34	seqclg 10778	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S )
75		elfzuz3 10300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
76		fzss2 10342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ( M + 1 ) ... n ) C_ ( ( M + 1 ) ... N ) )
77	45, 75, 76	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( M + 1 ) ... n ) C_ ( ( M + 1 ) ... N ) )
78		fzss1 10341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) )
79	32, 50, 78	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) )
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) )
81	77, 80	sstrd 3238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( M + 1 ) ... n ) C_ ( K ... N ) )
82	81	sselda 3228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ( M + 1 ) ... n ) ) -> x e. ( K ... N ) )
83	70	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
84	82, 83	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ( M + 1 ) ... n ) ) -> ( F ` x ) e. S )
85	72	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
86	49, 84, 85, 55, 56	seqclg 10778	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) e. S )
87		fveq2 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
88	87	eleq1d 2300	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
89	70	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( K ... N ) ( F ` x ) e. S )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> A. x e. ( K ... N ) ( F ` x ) e. S )
91		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
92		ssel2 3223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( K ... N ) )
93	79, 91, 92	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( K ... N ) )
94	88, 90, 93	rspcdva 2916	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
95		seqsplit.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
96	95	caovassg 6191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S /\ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
97	62, 74, 86, 94, 96	syl13anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
98	61, 97	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
99	58, 98	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
100	48, 99	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
101	47, 100	animpimp2impd 561	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
102	10, 17, 24, 31, 43, 101	uzind4 9865	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) )
103	1, 102	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
104	3, 103	mpd 13	1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8076   + caddc 8078   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286   seqcseq 10753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10826