Theorem plendxnmulrndx 13614

Description: The slot for the "less than or equal to" ordering is not the slot for the ring multiplication operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 1-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnmulrndx	|- ( le ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Proof of Theorem plendxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9381	. . 3 |- 3 e. RR
2		3lt10 9923	. . 3 |- 3 < ; 1 0
3	1, 2	gtneii 8423	. 2 |- ; 1 0 =/= 3
4		plendx 13607	. . 3 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
5		mulrndx 13537	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
6	4, 5	neeq12i 2437	. 2 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( .r ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= 3 )
7	3, 6	mpbir 146	1 |- ( le ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

This proof depends on syntax axioms:   =/= wne 2420   ` cfv 5377   0cc0 8180   1c1 8181   3c3 9359  ;cdc 9782   ndxcnx 13401   .rcmulr 13485   lecple 13491

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-dec 9783  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-mulr 13498  df-ple 13504

This theorem is used by:  znmul  15061