Theorem znmul 13955

Description: The multiplicative structure of ℤ/nℤ is the same as the quotient ring it is based on. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval2.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znmul	|- ( N e. NN0 -> ( .r ` U ) = ( .r ` Y ) )

Proof of Theorem znmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.s	. 2 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znval2.u	. 2 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
3		znval2.y	. 2 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		mulridx 12645	. 2 |- .r = Slot ( .r ` ndx )
5		mulrslid 12646	. . 3 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
6	5	simpri 113	. 2 |- ( .r ` ndx ) e. NN
7		plendxnmulrndx 12721	. . 3 |- ( le ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
8	7	necomi 2445	. 2 |- ( .r ` ndx ) =/= ( le ` ndx )
9	1, 2, 3, 4, 6, 8	znbaslemnn 13952	1 |- ( N e. NN0 -> ( .r ` U ) = ( .r ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   {csn 3607   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   NNcn 8950   NN0cn0 9207   ndxcnx 12512  Slot cslot 12514   .rcmulr 12593   lecple 12599   /._s cqus 12780   ~_QG cqg 13125  RSpancrsp 13801  ℤ_ringczring 13906  ℤ/nℤczn 13928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-ec 6562  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-fz 10041  df-cj 10886  df-struct 12517  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-starv 12607  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-ip 12610  df-ple 12612  df-0g 12766  df-iimas 12782  df-qus 12783  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-subg 13126  df-eqg 13128  df-cmn 13242  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-ring 13369  df-cring 13370  df-rhm 13519  df-subrg 13583  df-lsp 13720  df-sra 13768  df-rgmod 13769  df-rsp 13803  df-icnfld 13882  df-zring 13907  df-zrh 13929  df-zn 13931

This theorem is referenced by:  zncrng  13957