Theorem plendxnplusgndx 12908

Description: The slot for the "less than or equal to" ordering is not the slot for the group operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnplusgndx	|- ( le ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

Proof of Theorem plendxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9077	. . 3 |- 2 e. RR
2		2lt10 9611	. . 3 |- 2 < ; 1 0
3	1, 2	gtneii 8139	. 2 |- ; 1 0 =/= 2
4		plendx 12902	. . 3 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
5		plusgndx 12812	. . 3 |- ( +g ` ndx ) = 2
6	4, 5	neeq12i 2384	. 2 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( +g ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= 2 )
7	3, 6	mpbir 146	1 |- ( le ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2367   ` cfv 5259   0cc0 7896   1c1 7897   2c2 9058  ;cdc 9474   ndxcnx 12700   +g cplusg 12780   lecple 12787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-dec 9475  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-plusg 12793  df-ple 12800

This theorem is referenced by:  znadd  14273