Theorem plendxnplusgndx 13288

Description: The slot for the "less than or equal to" ordering is not the slot for the group operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnplusgndx	|- ( le ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

Proof of Theorem plendxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9212	. . 3 |- 2 e. RR
2		2lt10 9747	. . 3 |- 2 < ; 1 0
3	1, 2	gtneii 8274	. 2 |- ; 1 0 =/= 2
4		plendx 13282	. . 3 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
5		plusgndx 13191	. . 3 |- ( +g ` ndx ) = 2
6	4, 5	neeq12i 2419	. 2 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( +g ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= 2 )
7	3, 6	mpbir 146	1 |- ( le ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2402   ` cfv 5326   0cc0 8031   1c1 8032   2c2 9193  ;cdc 9610   ndxcnx 13078   +g cplusg 13159   lecple 13166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-plusg 13172  df-ple 13179

This theorem is referenced by:  znadd  14654