Theorem plusfvalg 12805

Description: The group addition operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
plusffval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
plusffval.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
plusffval.3	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
plusfvalg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem plusfvalg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusffval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		plusffval.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusffval.3	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
4	1, 2, 3	plusffvalg 12804	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑦)))
5	4	3ad2ant1 1020	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑦)))
6		oveq12 5900	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑌))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑌))
8		simp2 1000	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		simp3 1001	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		plusgslid 12590	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	slotex 12507	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) ∈ V)
12	2, 11	eqeltrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → + ∈ V)
13	12	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → + ∈ V)
14		ovexg 5925	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ + ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ V)
15	8, 13, 9, 14	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ V)
16	5, 7, 8, 9, 15	ovmpod 6019	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891   ∈ cmpo 5893  Basecbs 12480  +_gcplusg 12555  +_𝑓cplusf 12795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-inn 8938  df-2 8996  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-plusg 12568  df-plusf 12797

This theorem is referenced by:  mndpfo  12865  lmodfopne  13603