Theorem pncan2 8482

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pncan2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - A ) = B )

Proof of Theorem pncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcom 8412	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
2	1	oveq1d 6067	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( B + A ) - A ) = ( ( A + B ) - A ) )
3		pncan 8481	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( B + A ) - A ) = B )
4	2, 3	eqtr3d 2269	. 2 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + B ) - A ) = B )
5	4	ancoms 268	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - A ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6052   CCcc 8127   + caddc 8132   - cmin 8446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-sub 8448

This theorem is referenced by:  subid  8494  pnpcan  8514  pnncan  8516  pncan2d  8588  fzrev3  10425  fzrevral3  10445  fzosubel2  10544  facndiv  11105  bcnp1n  11125  lswccatn0lsw  11303  swrds1  11364  swrdccat2  11367  swrdccat3b  11436  trireciplem  12190  ballotfilem2  13149  ballotfilemfmpn  13155