Theorem swrds1 11248

Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrds1	|- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )

Proof of Theorem swrds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> W e. Word A )
2		elfzoelz 10381	. . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ZZ )
4	3	peano2zd 9604	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
5		swrdclg 11230	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ZZ /\ ( I + 1 ) e. ZZ ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
7		elfzouz 10385	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9		uzid 9769	. . . . . . 7 |- ( I e. ZZ -> I e. ( ZZ>= ` I ) )
10		peano2uz 9816	. . . . . . 7 |- ( I e. ( ZZ>= ` I ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
11	3, 9, 10	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
12		elfzuzb 10253	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) <-> ( I e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) ) )
13	8, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) )
14		fzofzp1 10471	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
16		swrdlen 11232	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
17	1, 13, 15, 16	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
18	3	zcnd 9602	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. CC )
19		ax-1cn 8124	. . . . 5 |- 1 e. CC
20		pncan2 8385	. . . . 5 |- ( ( I e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
22	17, 21	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 )
23		eqs1 11204	. . 3 |- ( ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A /\ (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
24	6, 22, 23	syl2anc 411	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
25		0z 9489	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
26		snidg 3698	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. { 0 } )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 e. { 0 }
28	21	oveq2d 6033	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = ( 0..^ 1 ) )
29		fzo01 10460	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
30	28, 29	eqtrdi 2280	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = { 0 } )
31	27, 30	eleqtrrid 2321	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) )
32		swrdfv 11233	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
33	1, 13, 15, 31, 32	syl31anc 1276	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
34		addlid 8317	. . . . . . 7 |- ( I e. CC -> ( 0 + I ) = I )
35	34	eqcomd 2237	. . . . . 6 |- ( I e. CC -> I = ( 0 + I ) )
36	18, 35	syl 14	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I = ( 0 + I ) )
37	36	fveq2d 5643	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W ` I ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
38	33, 37	eqtr4d 2267	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` I ) )
39	38	s1eqd 11196	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> = <" ( W ` I ) "> )
40	24, 39	eqtrd 2264	1 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   <.cop 3672   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   - cmin 8349   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112   <"cs1 11191   substr csubstr 11225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-s1 11192  df-substr 11226

This theorem is referenced by:  swrdlsw  11249  pfx1  11283