ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  swrds1 Unicode version
Theorem swrds1 11195
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )
Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> W e. Word A )
2 elfzoelz 10339 . . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ZZ )
32adantl 277 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ZZ )
43peano2zd 9568 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
5 swrdclg 11177 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ZZ /\ ( I + 1 ) e. ZZ ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
61, 3, 4, 5syl3anc 1271 . . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
7 elfzouz 10343 . . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
87adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9 uzid 9732 . . . . . . 7 |- ( I e. ZZ -> I e. ( ZZ>= ` I ) )
10 peano2uz 9774 . . . . . . 7 |- ( I e. ( ZZ>= ` I ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
113, 9, 103syl 17 . . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
12 elfzuzb 10211 . . . . . 6 |- ( I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) <-> ( I e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) ) )
138, 11, 12sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) )
14 fzofzp1 10428 . . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
1514adantl 277 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
16 swrdlen 11179 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
171, 13, 15, 16syl3anc 1271 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
183zcnd 9566 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. CC )
19 ax-1cn 8088 . . . . 5 |- 1 e. CC
20 pncan2 8349 . . . . 5 |- ( ( I e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
2118, 19, 20sylancl 413 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
2217, 21eqtrd 2262 . . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 )
23 eqs1 11156 . . 3 |- ( ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A /\ (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
246, 22, 23syl2anc 411 . 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
25 0z 9453 . . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
26 snidg 3695 . . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. { 0 } )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 |- 0 e. { 0 }
2821oveq2d 6016 . . . . . . 7 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = ( 0..^ 1 ) )
29 fzo01 10417 . . . . . . 7 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
3028, 29eqtrdi 2278 . . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = { 0 } )
3127, 30eleqtrrid 2319 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) )
32 swrdfv 11180 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
331, 13, 15, 31, 32syl31anc 1274 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
34 addlid 8281 . . . . . . 7 |- ( I e. CC -> ( 0 + I ) = I )
3534eqcomd 2235 . . . . . 6 |- ( I e. CC -> I = ( 0 + I ) )
3618, 35syl 14 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I = ( 0 + I ) )
3736fveq2d 5630 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W ` I ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
3833, 37eqtr4d 2265 . . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` I ) )
3938s1eqd 11148 . 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> = <" ( W ` I ) "> )
4024, 39eqtrd 2262 1 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   <.cop 3669   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   - cmin 8313   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066   <"cs1 11143   substr csubstr 11172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-s1 11144  df-substr 11173
This theorem is referenced by:  swrdlsw  11196  pfx1  11230
  Copyright terms: Public domain W3C validator