ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  swrds1 Unicode version
Theorem swrds1 11385
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )
Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> W e. Word A )
2 elfzoelz 10503 . . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ZZ )
32adantl 277 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ZZ )
43peano2zd 9721 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
5 swrdclg 11367 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ZZ /\ ( I + 1 ) e. ZZ ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
61, 3, 4, 5syl3anc 1274 . . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
7 elfzouz 10507 . . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
87adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9 uzid 9886 . . . . . . 7 |- ( I e. ZZ -> I e. ( ZZ>= ` I ) )
10 peano2uz 9933 . . . . . . 7 |- ( I e. ( ZZ>= ` I ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
113, 9, 103syl 17 . . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
12 elfzuzb 10372 . . . . . 6 |- ( I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) <-> ( I e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) ) )
138, 11, 12sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) )
14 fzofzp1 10594 . . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
1514adantl 277 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
16 swrdlen 11369 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
171, 13, 15, 16syl3anc 1274 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
183zcnd 9719 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. CC )
19 ax-1cn 8236 . . . . 5 |- 1 e. CC
20 pncan2 8496 . . . . 5 |- ( ( I e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
2118, 19, 20sylancl 413 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
2217, 21eqtrd 2267 . . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 )
23 eqs1 11341 . . 3 |- ( ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A /\ (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
246, 22, 23syl2anc 411 . 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
25 0z 9605 . . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
26 snidg 3723 . . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. { 0 } )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 |- 0 e. { 0 }
2821oveq2d 6074 . . . . . . 7 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = ( 0..^ 1 ) )
29 fzo01 10583 . . . . . . 7 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
3028, 29eqtrdi 2283 . . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = { 0 } )
3127, 30eleqtrrid 2324 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) )
32 swrdfv 11370 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
331, 13, 15, 31, 32syl31anc 1277 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
34 addlid 8428 . . . . . . 7 |- ( I e. CC -> ( 0 + I ) = I )
3534eqcomd 2240 . . . . . 6 |- ( I e. CC -> I = ( 0 + I ) )
3618, 35syl 14 . . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I = ( 0 + I ) )
3736fveq2d 5679 . . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W ` I ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
3833, 37eqtr4d 2270 . . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` I ) )
3938s1eqd 11333 . 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> = <" ( W ` I ) "> )
4024, 39eqtrd 2267 1 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3694   <.cop 3697   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   <"cs1 11328   substr csubstr 11362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-s1 11329  df-substr 11363
This theorem is referenced by:  swrdlsw  11386  pfx1  11420
  Copyright terms: Public domain W3C validator