Theorem swrds1 11440

Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrds1	|- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )

Proof of Theorem swrds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> W e. Word A )
2		elfzoelz 10554	. . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ZZ )
4	3	peano2zd 9771	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
5		swrdclg 11422	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ZZ /\ ( I + 1 ) e. ZZ ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
7		elfzouz 10558	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9		uzid 9936	. . . . . . 7 |- ( I e. ZZ -> I e. ( ZZ>= ` I ) )
10		peano2uz 9983	. . . . . . 7 |- ( I e. ( ZZ>= ` I ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
11	3, 9, 10	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
12		elfzuzb 10422	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) <-> ( I e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) ) )
13	8, 11, 12	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) )
14		fzofzp1 10645	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
16		swrdlen 11424	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
17	1, 13, 15, 16	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
18	3	zcnd 9769	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. CC )
19		ax-1cn 8272	. . . . 5 |- 1 e. CC
20		pncan2 8533	. . . . 5 |- ( ( I e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
21	18, 19, 20	sylancl 417	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
22	17, 21	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 )
23		eqs1 11396	. . 3 |- ( ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A /\ (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
24	6, 22, 23	syl2anc 415	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
25		0z 9655	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
26		snidg 3738	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. { 0 } )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 e. { 0 }
28	21	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = ( 0..^ 1 ) )
29		fzo01 10634	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
30	28, 29	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = { 0 } )
31	27, 30	eleqtrrid 2328	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) )
32		swrdfv 11425	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
33	1, 13, 15, 31, 32	syl31anc 1281	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
34		addlid 8465	. . . . . . 7 |- ( I e. CC -> ( 0 + I ) = I )
35	34	eqcomd 2244	. . . . . 6 |- ( I e. CC -> I = ( 0 + I ) )
36	18, 35	syl 14	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I = ( 0 + I ) )
37	36	fveq2d 5699	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W ` I ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
38	33, 37	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` I ) )
39	38	s1eqd 11388	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> = <" ( W ` I ) "> )
40	24, 39	eqtrd 2271	1 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   <.cop 3712   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   - cmin 8497   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304   <"cs1 11383   substr csubstr 11417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-s1 11384  df-substr 11418

This theorem is used by:  swrdlsw  11441  pfx1  11475