Theorem swrds1 11121

Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrds1	|- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )

Proof of Theorem swrds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> W e. Word A )
2		elfzoelz 10269	. . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ZZ )
4	3	peano2zd 9498	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
5		swrdclg 11103	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ZZ /\ ( I + 1 ) e. ZZ ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A )
7		elfzouz 10273	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9		uzid 9662	. . . . . . 7 |- ( I e. ZZ -> I e. ( ZZ>= ` I ) )
10		peano2uz 9704	. . . . . . 7 |- ( I e. ( ZZ>= ` I ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
11	3, 9, 10	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
12		elfzuzb 10141	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) <-> ( I e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) ) )
13	8, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) )
14		fzofzp1 10356	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
16		swrdlen 11105	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
17	1, 13, 15, 16	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = ( ( I + 1 ) - I ) )
18	3	zcnd 9496	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I e. CC )
19		ax-1cn 8018	. . . . 5 |- 1 e. CC
20		pncan2 8279	. . . . 5 |- ( ( I e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( I + 1 ) - I ) = 1 )
22	17, 21	eqtrd 2238	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 )
23		eqs1 11082	. . 3 |- ( ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) e. Word A /\ (♯ ` ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ) = 1 ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
24	6, 22, 23	syl2anc 411	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> )
25		0z 9383	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
26		snidg 3662	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. { 0 } )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 e. { 0 }
28	21	oveq2d 5960	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = ( 0..^ 1 ) )
29		fzo01 10345	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
30	28, 29	eqtrdi 2254	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) = { 0 } )
31	27, 30	eleqtrrid 2295	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) )
32		swrdfv 11106	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0 ... ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ 0 e. ( 0..^ ( ( I + 1 ) - I ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
33	1, 13, 15, 31, 32	syl31anc 1253	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
34		addlid 8211	. . . . . . 7 |- ( I e. CC -> ( 0 + I ) = I )
35	34	eqcomd 2211	. . . . . 6 |- ( I e. CC -> I = ( 0 + I ) )
36	18, 35	syl 14	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I = ( 0 + I ) )
37	36	fveq2d 5580	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W ` I ) = ( W ` ( 0 + I ) ) )
38	33, 37	eqtr4d 2241	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` I ) )
39	38	s1eqd 11074	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> <" ( ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) ` 0 ) "> = <" ( W ` I ) "> )
40	24, 39	eqtrd 2238	1 |- ( ( W e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. I , ( I + 1 ) >. ) = <" ( W ` I ) "> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {csn 3633   <.cop 3636   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   - cmin 8243   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130  ..^cfzo 10264  ♯chash 10920  Word cword 10994   <"cs1 11069   substr csubstr 11098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-ihash 10921  df-word 10995  df-s1 11070  df-substr 11099

This theorem is referenced by:  swrdlsw  11122