Theorem ballotfilem2 13206

Description: The probability that the first vote picked in a count is a B. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilem2	|- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( N / ( M + N ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c, x   x, M   x, N

Allowed substitution hints:   P( x, c)

Proof of Theorem ballotfilem2

Dummy variables i y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . 7 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . . . . . 7 |- N e. NN
3		ballotfilem.o	. . . . . . 7 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
4	1, 2, 3	ballotfilemofi 13197	. . . . . 6 |- O e. Fin
5		ssrab2 3333	. . . . . 6 |- { c e. O | -. 1 e. c } C_ O
6	4, 5	elpwi2 4289	. . . . 5 |- { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O
7	4	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> O e. Fin )
8		1z 9649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ZZ
9		nnaddcl 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
10	1, 2, 9	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M + N ) e. NN
11	10	nnzi 9644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M + N ) e. ZZ
12		fzfig 10845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin )
13	8, 11, 12	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
14		fidceq 7161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ x e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> DECID x = y )
15	13, 14	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> DECID x = y )
16	15	rgen2 2636	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. ( 1 ... ( M + N ) ) A. y e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID x = y
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. O -> A. x e. ( 1 ... ( M + N ) ) A. y e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID x = y )
18		nnuz 9937	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
19	10, 18	eleqtri 2313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 )
20		eluzfz1 10414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
21	19, 20	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. O -> 1 e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
22	3	reqabi 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. O <-> ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) )
23	22	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. O -> c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) )
24		elin 3412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) <-> ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c e. Fin ) )
25	23, 24	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. O -> ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c e. Fin ) )
26	25	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. O -> c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) )
27	26	elpwid 3696	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. O -> c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
28	25	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. O -> c e. Fin )
29	17, 21, 27, 28	elssdc 7199	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. O -> DECID 1 e. c )
30		dcn 854	. . . . . . . . . 10 |- (DECID 1 e. c -> DECID -. 1 e. c )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( c e. O -> DECID -. 1 e. c )
32	31	rgen 2603	. . . . . . . 8 |- A. c e. O DECID -. 1 e. c
33	32	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> A. c e. O DECID -. 1 e. c )
34	7, 33	ssfirab 7234	. . . . . 6 |- ( T. -> { c e. O | -. 1 e. c } e. Fin )
35	34	mptru 1411	. . . . 5 |- { c e. O | -. 1 e. c } e. Fin
36	6, 35	elini 3413	. . . 4 |- { c e. O | -. 1 e. c } e. ( ~P O i^i Fin )
37		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> (♯ ` x ) = (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) )
38	37	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) = ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) )
39		ballotfilem.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
40		hashcl 11198	. . . . . . . 8 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. Fin -> (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) e. NN0 )
41	35, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) e. NN0
42	1, 2, 3	ballotfilemonn 13199	. . . . . . 7 |- (♯ ` O ) e. NN
43		nn0nndivcl 9608	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) e. NN0 /\ (♯ ` O ) e. NN ) -> ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) e. RR )
44	41, 42, 43	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) e. RR
45	44	elexi 2834	. . . . 5 |- ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) e. _V
46	38, 39, 45	fvmpt 5776	. . . 4 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. ( ~P O i^i Fin ) -> ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) )
47	36, 46	ax-mp 5	. . 3 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) )
48		an32 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) /\ (♯ ` c ) = M ) <-> ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) /\ -. 1 e. c ) )
49		2eluzge1 9955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
50		fzss1 10447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) )
52	51	sspwi 3699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
53		elinel1 3415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) )
54	52, 53	sselid 3246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) )
55		elinel2 3416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. Fin )
56	54, 55	elind 3414	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) )
57		1lt2 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
58		2z 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
59		zltnle 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 ) )
60	8, 58, 59	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 )
61	57, 60	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. 2 <_ 1
62		elfzle1 10410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. ( 2 ... ( M + N ) ) -> 2 <_ 1 )
63	61, 62	mto 672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1 e. ( 2 ... ( M + N ) )
64		elelpwi 3697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. c /\ c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) ) -> 1 e. ( 2 ... ( M + N ) ) )
65	63, 64	mto 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( 1 e. c /\ c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) )
66		ancom 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. c /\ c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) ) <-> ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ 1 e. c ) )
67	65, 66	mtbi 681	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ 1 e. c )
68	67	imnani 702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) -> -. 1 e. c )
69	53, 68	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> -. 1 e. c )
70	56, 69	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) )
71		elinel1 3415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) )
72		velpw 3692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) <-> c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
73		ssab 3318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ { i | -. i = 1 } <-> A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) )
74		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = 1
75		1ex 8311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. _V
76		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = 1 -> ( i e. c <-> 1 e. c ) )
77		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = 1 -> ( i = 1 <-> 1 = 1 ) )
78	77	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = 1 -> ( -. i = 1 <-> -. 1 = 1 ) )
79	76, 78	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = 1 -> ( ( i e. c -> -. i = 1 ) <-> ( 1 e. c -> -. 1 = 1 ) ) )
80	75, 79	spcv 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) -> ( 1 e. c -> -. 1 = 1 ) )
81	74, 80	mt2i 653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) -> -. 1 e. c )
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) /\ i = 1 ) -> i = 1 )
83		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) /\ i = 1 ) -> i e. c )
84	82, 83	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) /\ i = 1 ) -> 1 e. c )
85		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) /\ i = 1 ) -> -. 1 e. c )
86	84, 85	pm2.65da 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) -> -. i = 1 )
87	86	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. 1 e. c -> ( i e. c -> -. i = 1 ) )
88	87	alrimiv 1927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. 1 e. c -> A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) )
89	81, 88	impbii 126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) <-> -. 1 e. c )
90	73, 89	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. 1 e. c <-> c C_ { i | -. i = 1 } )
91		ssin 3453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c C_ { i | -. i = 1 } ) <-> c C_ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) )
92		1le2 9492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 <_ 2
93		1p1e2 9400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 + 1 ) = 2
94		nnge1 9306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
95	1, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 <_ M
96		nnge1 9306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
97	2, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 <_ N
98		1re 8315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 e. RR
99	1	nnrei 9292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- M e. RR
100	2	nnrei 9292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- N e. RR
101	98, 98, 99, 100	le2addi 8829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 1 <_ M /\ 1 <_ N ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( M + N ) )
102	95, 97, 101	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 + 1 ) <_ ( M + N )
103	93, 102	eqbrtrri 4148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 <_ ( M + N )
104		2re 9353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. RR
105	99, 100	readdcli 8329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( M + N ) e. RR
106	98, 104, 105	letri 8423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ ( M + N ) ) -> 1 <_ ( M + N ) )
107	92, 103, 106	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 <_ ( M + N )
108		eluz 9914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( M + N ) ) )
109	8, 11, 108	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( M + N ) )
110	107, 109	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 )
111		elfzp12 10484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) <-> ( i = 1 \/ i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) ) ) )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) <-> ( i = 1 \/ i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) ) )
113	112	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( i = 1 \/ i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) ) )
114	113	orcanai 940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) -> i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) )
115	93	oveq1i 6085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) = ( 2 ... ( M + N ) )
116	114, 115	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) -> i e. ( 2 ... ( M + N ) ) )
117	116	ss2abi 3320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { i | ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) } C_ { i | i e. ( 2 ... ( M + N ) ) }
118		inab 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { i | i e. ( 1 ... ( M + N ) ) } i^i { i | -. i = 1 } ) = { i | ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) }
119		abid2 2361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { i | i e. ( 1 ... ( M + N ) ) } = ( 1 ... ( M + N ) )
120	119	ineq1i 3428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { i | i e. ( 1 ... ( M + N ) ) } i^i { i | -. i = 1 } ) = ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } )
121	118, 120	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { i | ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) } = ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } )
122		abid2 2361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { i | i e. ( 2 ... ( M + N ) ) } = ( 2 ... ( M + N ) )
123	117, 121, 122	3sstr3i 3288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) C_ ( 2 ... ( M + N ) )
124		sstr 3256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c C_ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) /\ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) C_ ( 2 ... ( M + N ) ) ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
125	123, 124	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
126	91, 125	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c C_ { i | -. i = 1 } ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
127	72, 90, 126	syl2anb 291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. 1 e. c ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
128	71, 127	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
129		velpw 3692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) <-> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
130	128, 129	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) -> c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) )
131		elinel2 3416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. Fin )
132	131	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) -> c e. Fin )
133	130, 132	elind 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) -> c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) )
134	70, 133	impbii 126	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) <-> ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) )
135	134	anbi1i 462	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) <-> ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) /\ (♯ ` c ) = M ) )
136	22	anbi1i 462	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. O /\ -. 1 e. c ) <-> ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) /\ -. 1 e. c ) )
137	48, 135, 136	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) <-> ( c e. O /\ -. 1 e. c ) )
138	137	rabbia2 2806	. . . . . 6 |- { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } = { c e. O | -. 1 e. c }
139	138	fveq2i 5693	. . . . 5 |- (♯ ` { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } ) = (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } )
140		fzfig 10845	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( 2 ... ( M + N ) ) e. Fin )
141	58, 11, 140	mp2an 430	. . . . . . 7 |- ( 2 ... ( M + N ) ) e. Fin
142	1	nnzi 9644	. . . . . . 7 |- M e. ZZ
143		hashfibc 11261	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ M e. ZZ ) -> ( (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = (♯ ` { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } ) )
144	141, 142, 143	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = (♯ ` { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } )
145	58	eluz1i 9908	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( M + N ) e. ZZ /\ 2 <_ ( M + N ) ) )
146	11, 103, 145	mpbir2an 955	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 2 )
147		hashfz 11240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 ) )
148	146, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 )
149	1	nncni 9293	. . . . . . . . . . 11 |- M e. CC
150	2	nncni 9293	. . . . . . . . . . 11 |- N e. CC
151	149, 150	addcli 8320	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. CC
152		2cn 9354	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
153		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
154		subadd23 8528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + N ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 ) = ( ( M + N ) + ( 1 - 2 ) ) )
155	151, 152, 153, 154	mp3an 1378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 ) = ( ( M + N ) + ( 1 - 2 ) )
156	152, 153	negsubdi2i 8602	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 2 - 1 ) = ( 1 - 2 )
157		2m1e1 9401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 - 1 ) = 1
158	157	negeqi 8510	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 2 - 1 ) = -u 1
159	156, 158	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 2 ) = -u 1
160	159	oveq2i 6086	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) + ( 1 - 2 ) ) = ( ( M + N ) + -u 1 )
161	148, 155, 160	3eqtri 2263	. . . . . . . 8 |- (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( M + N ) + -u 1 )
162	151, 153	negsubi 8594	. . . . . . . 8 |- ( ( M + N ) + -u 1 ) = ( ( M + N ) - 1 )
163	161, 162	eqtri 2259	. . . . . . 7 |- (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( M + N ) - 1 )
164	163	oveq1i 6085	. . . . . 6 |- ( (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M )
165	144, 164	eqtr3i 2261	. . . . 5 |- (♯ ` { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } ) = ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M )
166	139, 165	eqtr3i 2261	. . . 4 |- (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M )
167	1, 2, 3	ballotfilem1 13198	. . . 4 |- (♯ ` O ) = ( ( M + N ) _C M )
168	166, 167	oveq12i 6087	. . 3 |- ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) = ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) )
169	47, 168	eqtri 2259	. 2 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) )
170		0le1 8799	. . . . 5 |- 0 <_ 1
171		0re 8316	. . . . . 6 |- 0 e. RR
172	171, 98, 99	letri 8423	. . . . 5 |- ( ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ M ) -> 0 <_ M )
173	170, 95, 172	mp2an 430	. . . 4 |- 0 <_ M
174	2	nngt0i 9313	. . . . . 6 |- 0 < N
175	100, 174	elrpii 10036	. . . . 5 |- N e. RR+
176		ltaddrp 10071	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR+ ) -> M < ( M + N ) )
177	99, 175, 176	mp2an 430	. . . 4 |- M < ( M + N )
178		0z 9634	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
179		elfzm11 10476	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M /\ M < ( M + N ) ) ) )
180	178, 11, 179	mp2an 430	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M /\ M < ( M + N ) ) )
181	142, 173, 177, 180	mpbir3an 1210	. . 3 |- M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) )
182		bcm1n 11185	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) ) /\ ( M + N ) e. NN ) -> ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) ) = ( ( ( M + N ) - M ) / ( M + N ) ) )
183	181, 10, 182	mp2an 430	. 2 |- ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) ) = ( ( ( M + N ) - M ) / ( M + N ) )
184		pncan2 8523	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - M ) = N )
185	149, 150, 184	mp2an 430	. . 3 |- ( ( M + N ) - M ) = N
186	185	oveq1i 6085	. 2 |- ( ( ( M + N ) - M ) / ( M + N ) ) = ( N / ( M + N ) )
187	169, 183, 186	3eqtri 2263	1 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( N / ( M + N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   {crab 2532   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ~Pcpw 3685   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   -ucneg 8488   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   RR+crp 10033   ...cfz 10390   _C cbc 11163  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193

This theorem is referenced by:  ballotfilemth  13259