Theorem ballotfilem2 13142

Description: The probability that the first vote picked in a count is a B. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfi.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfi.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilem2	|- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( N / ( M + N ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c, x   x, M   x, N

Allowed substitution hints:   P( x, c)

Proof of Theorem ballotfilem2

Dummy variables i y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . 7 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . . . . . 7 |- N e. NN
3		ballotfi.o	. . . . . . 7 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
4	1, 2, 3	ballotfilemofi 13138	. . . . . 6 |- O e. Fin
5		ssrab2 3323	. . . . . 6 |- { c e. O | -. 1 e. c } C_ O
6	4, 5	elpwi2 4270	. . . . 5 |- { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O
7	4	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> O e. Fin )
8		1z 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ZZ
9		nnaddcl 9257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
10	1, 2, 9	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M + N ) e. NN
11	10	nnzi 9598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M + N ) e. ZZ
12		fzfig 10792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin )
13	8, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
14		fidceq 7124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ x e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> DECID x = y )
15	13, 14	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> DECID x = y )
16	15	rgen2 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. ( 1 ... ( M + N ) ) A. y e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID x = y
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. O -> A. x e. ( 1 ... ( M + N ) ) A. y e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID x = y )
18		nnuz 9890	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
19	10, 18	eleqtri 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 )
20		eluzfz1 10365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
21	19, 20	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. O -> 1 e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
22	3	reqabi 2720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. O <-> ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) )
23	22	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. O -> c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) )
24		elin 3402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) <-> ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c e. Fin ) )
25	23, 24	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. O -> ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c e. Fin ) )
26	25	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. O -> c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) )
27	26	elpwid 3680	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. O -> c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
28	25	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. O -> c e. Fin )
29	17, 21, 27, 28	elssdc 7162	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. O -> DECID 1 e. c )
30		dcn 850	. . . . . . . . . 10 |- (DECID 1 e. c -> DECID -. 1 e. c )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( c e. O -> DECID -. 1 e. c )
32	31	rgen 2595	. . . . . . . 8 |- A. c e. O DECID -. 1 e. c
33	32	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> A. c e. O DECID -. 1 e. c )
34	7, 33	ssfirab 7197	. . . . . 6 |- ( T. -> { c e. O | -. 1 e. c } e. Fin )
35	34	mptru 1407	. . . . 5 |- { c e. O | -. 1 e. c } e. Fin
36	6, 35	elini 3403	. . . 4 |- { c e. O | -. 1 e. c } e. ( ~P O i^i Fin )
37		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> (♯ ` x ) = (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) )
38	37	oveq1d 6065	. . . . 5 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) = ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) )
39		ballotfi.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
40		hashcl 11144	. . . . . . . 8 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. Fin -> (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) e. NN0 )
41	35, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) e. NN0
42	1, 2, 3	ballotfilemonn 13140	. . . . . . 7 |- (♯ ` O ) e. NN
43		nn0nndivcl 9562	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) e. NN0 /\ (♯ ` O ) e. NN ) -> ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) e. RR )
44	41, 42, 43	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) e. RR
45	44	elexi 2826	. . . . 5 |- ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) e. _V
46	38, 39, 45	fvmpt 5754	. . . 4 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. ( ~P O i^i Fin ) -> ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) )
47	36, 46	ax-mp 5	. . 3 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) )
48		an32 564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) /\ (♯ ` c ) = M ) <-> ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) /\ -. 1 e. c ) )
49		2eluzge1 9908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
50		fzss1 10397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) )
52	51	sspwi 3683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
53		elinel1 3405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) )
54	52, 53	sselid 3236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) )
55		elinel2 3406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. Fin )
56	54, 55	elind 3404	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) )
57		1lt2 9407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
58		2z 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
59		zltnle 9623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 ) )
60	8, 58, 59	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 )
61	57, 60	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. 2 <_ 1
62		elfzle1 10361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. ( 2 ... ( M + N ) ) -> 2 <_ 1 )
63	61, 62	mto 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1 e. ( 2 ... ( M + N ) )
64		elelpwi 3681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. c /\ c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) ) -> 1 e. ( 2 ... ( M + N ) ) )
65	63, 64	mto 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( 1 e. c /\ c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) )
66		ancom 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. c /\ c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) ) <-> ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ 1 e. c ) )
67	65, 66	mtbi 677	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ 1 e. c )
68	67	imnani 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) -> -. 1 e. c )
69	53, 68	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> -. 1 e. c )
70	56, 69	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) )
71		elinel1 3405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) )
72		velpw 3676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) <-> c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
73		ssab 3308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ { i | -. i = 1 } <-> A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) )
74		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = 1
75		1ex 8269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. _V
76		eleq1 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = 1 -> ( i e. c <-> 1 e. c ) )
77		eqeq1 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = 1 -> ( i = 1 <-> 1 = 1 ) )
78	77	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = 1 -> ( -. i = 1 <-> -. 1 = 1 ) )
79	76, 78	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = 1 -> ( ( i e. c -> -. i = 1 ) <-> ( 1 e. c -> -. 1 = 1 ) ) )
80	75, 79	spcv 2911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) -> ( 1 e. c -> -. 1 = 1 ) )
81	74, 80	mt2i 649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) -> -. 1 e. c )
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) /\ i = 1 ) -> i = 1 )
83		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) /\ i = 1 ) -> i e. c )
84	82, 83	eqeltrrd 2310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) /\ i = 1 ) -> 1 e. c )
85		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) /\ i = 1 ) -> -. 1 e. c )
86	84, 85	pm2.65da 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -. 1 e. c /\ i e. c ) -> -. i = 1 )
87	86	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. 1 e. c -> ( i e. c -> -. i = 1 ) )
88	87	alrimiv 1923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. 1 e. c -> A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) )
89	81, 88	impbii 126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) <-> -. 1 e. c )
90	73, 89	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. 1 e. c <-> c C_ { i | -. i = 1 } )
91		ssin 3443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c C_ { i | -. i = 1 } ) <-> c C_ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) )
92		1le2 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 <_ 2
93		1p1e2 9354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 + 1 ) = 2
94		nnge1 9260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
95	1, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 <_ M
96		nnge1 9260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
97	2, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 <_ N
98		1re 8273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 e. RR
99	1	nnrei 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- M e. RR
100	2	nnrei 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- N e. RR
101	98, 98, 99, 100	le2addi 8785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 1 <_ M /\ 1 <_ N ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( M + N ) )
102	95, 97, 101	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 + 1 ) <_ ( M + N )
103	93, 102	eqbrtrri 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 <_ ( M + N )
104		2re 9307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. RR
105	99, 100	readdcli 8287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( M + N ) e. RR
106	98, 104, 105	letri 8381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ ( M + N ) ) -> 1 <_ ( M + N ) )
107	92, 103, 106	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 <_ ( M + N )
108		eluz 9867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( M + N ) ) )
109	8, 11, 108	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( M + N ) )
110	107, 109	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 )
111		elfzp12 10433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) <-> ( i = 1 \/ i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) ) ) )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) <-> ( i = 1 \/ i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) ) )
113	112	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( i = 1 \/ i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) ) )
114	113	orcanai 936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) -> i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) )
115	93	oveq1i 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) = ( 2 ... ( M + N ) )
116	114, 115	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) -> i e. ( 2 ... ( M + N ) ) )
117	116	ss2abi 3310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { i | ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) } C_ { i | i e. ( 2 ... ( M + N ) ) }
118		inab 3489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { i | i e. ( 1 ... ( M + N ) ) } i^i { i | -. i = 1 } ) = { i | ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) }
119		abid2 2355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { i | i e. ( 1 ... ( M + N ) ) } = ( 1 ... ( M + N ) )
120	119	ineq1i 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { i | i e. ( 1 ... ( M + N ) ) } i^i { i | -. i = 1 } ) = ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } )
121	118, 120	eqtr3i 2255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { i | ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) } = ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } )
122		abid2 2355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { i | i e. ( 2 ... ( M + N ) ) } = ( 2 ... ( M + N ) )
123	117, 121, 122	3sstr3i 3278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) C_ ( 2 ... ( M + N ) )
124		sstr 3246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c C_ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) /\ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) C_ ( 2 ... ( M + N ) ) ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
125	123, 124	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
126	91, 125	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c C_ { i | -. i = 1 } ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
127	72, 90, 126	syl2anb 291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. 1 e. c ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
128	71, 127	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
129		velpw 3676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) <-> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
130	128, 129	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) -> c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) )
131		elinel2 3406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. Fin )
132	131	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) -> c e. Fin )
133	130, 132	elind 3404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) -> c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) )
134	70, 133	impbii 126	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) <-> ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) )
135	134	anbi1i 458	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) <-> ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ -. 1 e. c ) /\ (♯ ` c ) = M ) )
136	22	anbi1i 458	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. O /\ -. 1 e. c ) <-> ( ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) /\ -. 1 e. c ) )
137	48, 135, 136	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) /\ (♯ ` c ) = M ) <-> ( c e. O /\ -. 1 e. c ) )
138	137	rabbia2 2798	. . . . . 6 |- { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } = { c e. O | -. 1 e. c }
139	138	fveq2i 5673	. . . . 5 |- (♯ ` { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } ) = (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } )
140		fzfig 10792	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( 2 ... ( M + N ) ) e. Fin )
141	58, 11, 140	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 2 ... ( M + N ) ) e. Fin
142	1	nnzi 9598	. . . . . . 7 |- M e. ZZ
143		hashfibc 11207	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ M e. ZZ ) -> ( (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = (♯ ` { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } ) )
144	141, 142, 143	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = (♯ ` { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } )
145	58	eluz1i 9861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( M + N ) e. ZZ /\ 2 <_ ( M + N ) ) )
146	11, 103, 145	mpbir2an 951	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 2 )
147		hashfz 11186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 ) )
148	146, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 )
149	1	nncni 9247	. . . . . . . . . . 11 |- M e. CC
150	2	nncni 9247	. . . . . . . . . . 11 |- N e. CC
151	149, 150	addcli 8278	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. CC
152		2cn 9308	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
153		ax-1cn 8220	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
154		subadd23 8485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + N ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 ) = ( ( M + N ) + ( 1 - 2 ) ) )
155	151, 152, 153, 154	mp3an 1374	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 ) = ( ( M + N ) + ( 1 - 2 ) )
156	152, 153	negsubdi2i 8559	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 2 - 1 ) = ( 1 - 2 )
157		2m1e1 9355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 - 1 ) = 1
158	157	negeqi 8467	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 2 - 1 ) = -u 1
159	156, 158	eqtr3i 2255	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 2 ) = -u 1
160	159	oveq2i 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) + ( 1 - 2 ) ) = ( ( M + N ) + -u 1 )
161	148, 155, 160	3eqtri 2257	. . . . . . . 8 |- (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( M + N ) + -u 1 )
162	151, 153	negsubi 8551	. . . . . . . 8 |- ( ( M + N ) + -u 1 ) = ( ( M + N ) - 1 )
163	161, 162	eqtri 2253	. . . . . . 7 |- (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( M + N ) - 1 )
164	163	oveq1i 6060	. . . . . 6 |- ( (♯ ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M )
165	144, 164	eqtr3i 2255	. . . . 5 |- (♯ ` { c e. ( ~P ( 2 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } ) = ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M )
166	139, 165	eqtr3i 2255	. . . 4 |- (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M )
167	1, 2, 3	ballotfilem1 13139	. . . 4 |- (♯ ` O ) = ( ( M + N ) _C M )
168	166, 167	oveq12i 6062	. . 3 |- ( (♯ ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / (♯ ` O ) ) = ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) )
169	47, 168	eqtri 2253	. 2 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) )
170		0le1 8755	. . . . 5 |- 0 <_ 1
171		0re 8274	. . . . . 6 |- 0 e. RR
172	171, 98, 99	letri 8381	. . . . 5 |- ( ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ M ) -> 0 <_ M )
173	170, 95, 172	mp2an 426	. . . 4 |- 0 <_ M
174	2	nngt0i 9267	. . . . . 6 |- 0 < N
175	100, 174	elrpii 9989	. . . . 5 |- N e. RR+
176		ltaddrp 10024	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR+ ) -> M < ( M + N ) )
177	99, 175, 176	mp2an 426	. . . 4 |- M < ( M + N )
178		0z 9588	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
179		elfzm11 10425	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M /\ M < ( M + N ) ) ) )
180	178, 11, 179	mp2an 426	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M /\ M < ( M + N ) ) )
181	142, 173, 177, 180	mpbir3an 1206	. . 3 |- M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) )
182		bcm1n 11131	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) ) /\ ( M + N ) e. NN ) -> ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) ) = ( ( ( M + N ) - M ) / ( M + N ) ) )
183	181, 10, 182	mp2an 426	. 2 |- ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) ) = ( ( ( M + N ) - M ) / ( M + N ) )
184		pncan2 8480	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - M ) = N )
185	149, 150, 184	mp2an 426	. . 3 |- ( ( M + N ) - M ) = N
186	185	oveq1i 6060	. 2 |- ( ( ( M + N ) - M ) / ( M + N ) ) = ( N / ( M + N ) )
187	169, 183, 186	3eqtri 2257	1 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( N / ( M + N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2203   {cab 2218   A.wral 2520   {crab 2524   i^i cin 3210   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   -ucneg 8445   / cdiv 8946   NNcn 9237   2c2 9288   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   RR+crp 9986   ...cfz 10342   _C cbc 11109  ♯chash 11138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-fac 11088  df-bc 11110  df-ihash 11139

This theorem is referenced by: (None)