Theorem pncan3 8161

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pncan3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Proof of Theorem pncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. 2 |- ( B - A ) = ( B - A )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		subcl 8152	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
5	4	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
6		subadd 8156	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC /\ ( B - A ) e. CC ) -> ( ( B - A ) = ( B - A ) <-> ( A + ( B - A ) ) = B ) )
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( B - A ) = ( B - A ) <-> ( A + ( B - A ) ) = B ) )
8	1, 7	mpbii 148	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5872   CCcc 7806   + caddc 7811   - cmin 8124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-setind 4535  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-sub 8126

This theorem is referenced by:  npcan  8162  nncan  8182  npncan3  8191  negid  8200  pncan3i  8230  pncan3d  8267  subdi  8338  posdif  8408  fzonmapblen  10182  frecfzen2  10422  bernneq2  10636  hashfz  10794  isumshft  11491  dvdssubr  11839  dvef  14059  sincosq2sgn  14119  sincosq3sgn  14120  sincosq4sgn  14121  logdivlti  14173