Theorem pncan3 8280

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pncan3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Proof of Theorem pncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. 2 |- ( B - A ) = ( B - A )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		subcl 8271	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
5	4	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
6		subadd 8275	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC /\ ( B - A ) e. CC ) -> ( ( B - A ) = ( B - A ) <-> ( A + ( B - A ) ) = B ) )
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( B - A ) = ( B - A ) <-> ( A + ( B - A ) ) = B ) )
8	1, 7	mpbii 148	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   CCcc 7923   + caddc 7928   - cmin 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245

This theorem is referenced by:  npcan  8281  nncan  8301  npncan3  8310  negid  8319  pncan3i  8349  pncan3d  8386  subdi  8457  posdif  8528  fzonmapblen  10311  frecfzen2  10572  bernneq2  10806  hashfz  10966  swrdfv2  11116  isumshft  11801  dvdssubr  12150  dvef  15199  sincosq2sgn  15299  sincosq3sgn  15300  sincosq4sgn  15301  logdivlti  15353