Theorem pncan3 8354

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pncan3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Proof of Theorem pncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 |- ( B - A ) = ( B - A )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		subcl 8345	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
5	4	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
6		subadd 8349	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC /\ ( B - A ) e. CC ) -> ( ( B - A ) = ( B - A ) <-> ( A + ( B - A ) ) = B ) )
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( B - A ) = ( B - A ) <-> ( A + ( B - A ) ) = B ) )
8	1, 7	mpbii 148	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   + caddc 8002   - cmin 8317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319

This theorem is referenced by:  npcan  8355  nncan  8375  npncan3  8384  negid  8393  pncan3i  8423  pncan3d  8460  subdi  8531  posdif  8602  fzonmapblen  10387  frecfzen2  10649  bernneq2  10883  hashfz  11043  swrdfv2  11195  addlenpfx  11223  ccatpfx  11233  isumshft  12001  dvdssubr  12350  dvef  15401  sincosq2sgn  15501  sincosq3sgn  15502  sincosq4sgn  15503  logdivlti  15555