ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzrevral3 Unicode version

Theorem fzrevral3 9899
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. k  e.  ( M ... N )
[. ( ( M  +  N )  -  k )  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, M   
j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzrevral3
StepHypRef Expression
1 zaddcl 9106 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
2 fzrevral 9897 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( ( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) ) [. ( ( M  +  N )  -  k
)  /  j ]. ph ) )
31, 2mpd3an3 1316 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. k  e.  ( ( ( M  +  N )  -  N
) ... ( ( M  +  N )  -  M ) ) [. ( ( M  +  N )  -  k
)  /  j ]. ph ) )
4 zcn 9071 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
5 zcn 9071 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
6 pncan 7980 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
7 pncan2 7981 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  M
)  =  N )
86, 7oveq12d 5792 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) )  =  ( M ... N ) )
94, 5, 8syl2an 287 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) )  =  ( M ... N ) )
109raleqdv 2632 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) ) [. ( ( M  +  N )  -  k )  / 
j ]. ph  <->  A. k  e.  ( M ... N
) [. ( ( M  +  N )  -  k )  /  j ]. ph ) )
113, 10bitrd 187 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. k  e.  ( M ... N )
[. ( ( M  +  N )  -  k )  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   [.wsbc 2909  (class class class)co 5774   CCcc 7630    + caddc 7635    - cmin 7945   ZZcz 9066   ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator