Theorem facndiv 10848

Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facndiv	|- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ )

Proof of Theorem facndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9014	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2		recnz 9436	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 1 < N ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ 1 < N ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
4	3	ad2ant2lr 510	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
5		facdiv 10847	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )
6	5	3expa 1205	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )
7	6	nnzd 9464	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ )
8	7	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ )
9		zsubcl 9384	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ /\ ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ )
10	9	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ ) )
11	8, 10	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ ) )
12		faccl 10844	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
13	12	nncnd 9021	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
14		peano2cn 8178	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` M ) e. CC -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
17	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ! ` M ) e. CC )
18		nncn 9015	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
19	18	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> N e. CC )
20		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> N e. NN )
21	20	nnap0d 9053	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> N # 0 )
22	16, 17, 19, 21	divsubdirapd 8874	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) )
23		ax-1cn 7989	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
24		pncan2 8250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ! ` M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) = 1 )
25	13, 23, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) = 1 )
26	25	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( 1 / N ) )
27	26	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( 1 / N ) )
28	22, 27	eqtr3d 2231	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) = ( 1 / N ) )
29	28	eleq1d 2265	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ <-> ( 1 / N ) e. ZZ ) )
30	11, 29	sylibd 149	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( 1 / N ) e. ZZ ) )
31	4, 30	mtod 664	1 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   / cdiv 8716   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   !cfa 10834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-fac 10835

This theorem is referenced by:  infpnlem1  12553