Theorem facndiv 10810

Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facndiv	|- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ )

Proof of Theorem facndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8989	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2		recnz 9410	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 1 < N ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ 1 < N ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
4	3	ad2ant2lr 510	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
5		facdiv 10809	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )
6	5	3expa 1205	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )
7	6	nnzd 9438	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ )
8	7	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ )
9		zsubcl 9358	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ /\ ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ )
10	9	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ ) )
11	8, 10	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ ) )
12		faccl 10806	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
13	12	nncnd 8996	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
14		peano2cn 8154	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` M ) e. CC -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
17	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ! ` M ) e. CC )
18		nncn 8990	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
19	18	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> N e. CC )
20		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> N e. NN )
21	20	nnap0d 9028	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> N # 0 )
22	16, 17, 19, 21	divsubdirapd 8849	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) )
23		ax-1cn 7965	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
24		pncan2 8226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ! ` M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) = 1 )
25	13, 23, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) = 1 )
26	25	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( 1 / N ) )
27	26	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( 1 / N ) )
28	22, 27	eqtr3d 2228	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) = ( 1 / N ) )
29	28	eleq1d 2262	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ <-> ( 1 / N ) e. ZZ ) )
30	11, 29	sylibd 149	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( 1 / N ) e. ZZ ) )
31	4, 30	mtod 664	1 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   / cdiv 8691   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   !cfa 10796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-fac 10797

This theorem is referenced by:  infpnlem1  12497