Theorem facndiv 11155

Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facndiv	|- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ )

Proof of Theorem facndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9290	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2		recnz 9718	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 1 < N ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ 1 < N ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
4	3	ad2ant2lr 514	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
5		facdiv 11154	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )
6	5	3expa 1234	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )
7	6	nnzd 9746	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ )
8	7	adantrl 482	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ )
9		zsubcl 9664	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ /\ ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ )
10	9	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ ) )
11	8, 10	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ ) )
12		faccl 11151	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
13	12	nncnd 9297	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
14		peano2cn 8451	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` M ) e. CC -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
16	15	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
17	13	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ! ` M ) e. CC )
18		nncn 9291	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
19	18	ad2antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> N e. CC )
20		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> N e. NN )
21	20	nnap0d 9329	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> N # 0 )
22	16, 17, 19, 21	divsubdirapd 9150	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) )
23		ax-1cn 8262	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
24		pncan2 8523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ! ` M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) = 1 )
25	13, 23, 24	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) = 1 )
26	25	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( 1 / N ) )
27	26	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( 1 / N ) )
28	22, 27	eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) = ( 1 / N ) )
29	28	eleq1d 2307	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ <-> ( 1 / N ) e. ZZ ) )
30	11, 29	sylibd 149	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( 1 / N ) e. ZZ ) )
31	4, 30	mtod 673	1 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   !cfa 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-fac 11142

This theorem is referenced by:  infpnlem1  13116