ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facndiv Unicode version

Theorem facndiv 10642
Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facndiv  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  -.  ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem facndiv
StepHypRef Expression
1 nnre 8856 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 recnz 9276 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  -.  ( 1  /  N
)  e.  ZZ )
31, 2sylan 281 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  ->  -.  ( 1  /  N
)  e.  ZZ )
43ad2ant2lr 502 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  -.  ( 1  /  N
)  e.  ZZ )
5 facdiv 10641 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  NN )
653expa 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  M
)  ->  ( ( ! `  M )  /  N )  e.  NN )
76nnzd 9304 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  M
)  ->  ( ( ! `  M )  /  N )  e.  ZZ )
87adantrl 470 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  ZZ )
9 zsubcl 9224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  M )  /  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ! `  M
)  +  1 )  /  N )  -  ( ( ! `  M )  /  N
) )  e.  ZZ )
109ex 114 . . . 4  |-  ( ( ( ( ! `  M )  +  1 )  /  N )  e.  ZZ  ->  (
( ( ! `  M )  /  N
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  -  ( ( ! `  M )  /  N ) )  e.  ZZ ) )
118, 10syl5com 29 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  -  ( ( ! `  M )  /  N ) )  e.  ZZ ) )
12 faccl 10638 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
1312nncnd 8863 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  CC )
14 peano2cn 8025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  M )  e.  CC  ->  (
( ! `  M
)  +  1 )  e.  CC )
1513, 14syl 14 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  +  1 )  e.  CC )
1615ad2antrr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ! `  M
)  +  1 )  e.  CC )
1713ad2antrr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  ( ! `  M )  e.  CC )
18 nncn 8857 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1918ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  N  e.  CC )
20 simplr 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  N  e.  NN )
2120nnap0d 8895 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  N #  0 )
2216, 17, 19, 21divsubdirapd 8718 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  -  ( ! `  M )
)  /  N )  =  ( ( ( ( ! `  M
)  +  1 )  /  N )  -  ( ( ! `  M )  /  N
) ) )
23 ax-1cn 7838 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
24 pncan2 8097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  -  ( ! `  M )
)  =  1 )
2513, 23, 24sylancl 410 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  M
)  +  1 )  -  ( ! `  M ) )  =  1 )
2625oveq1d 5852 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ! `  M )  +  1 )  -  ( ! `
 M ) )  /  N )  =  ( 1  /  N
) )
2726ad2antrr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  -  ( ! `  M )
)  /  N )  =  ( 1  /  N ) )
2822, 27eqtr3d 2199 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  -  ( ( ! `  M )  /  N ) )  =  ( 1  /  N ) )
2928eleq1d 2233 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ( ! `  M )  +  1 )  /  N )  -  (
( ! `  M
)  /  N ) )  e.  ZZ  <->  ( 1  /  N )  e.  ZZ ) )
3011, 29sylibd 148 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ  ->  ( 1  /  N )  e.  ZZ ) )
314, 30mtod 653 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  -.  ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1342    e. wcel 2135   class class class wbr 3977   ` cfv 5183  (class class class)co 5837   CCcc 7743   RRcr 7744   1c1 7746    + caddc 7748    < clt 7925    <_ cle 7926    - cmin 8061    / cdiv 8560   NNcn 8849   NN0cn0 9106   ZZcz 9183   !cfa 10628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-mulrcl 7844  ax-addcom 7845  ax-mulcom 7846  ax-addass 7847  ax-mulass 7848  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-1rid 7852  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-precex 7855  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861  ax-pre-mulgt0 7862  ax-pre-mulext 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-po 4269  df-iso 4270  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-frec 6351  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-reap 8465  df-ap 8472  df-div 8561  df-inn 8850  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-seqfrec 10372  df-fac 10629
This theorem is referenced by:  infpnlem1  12278
  Copyright terms: Public domain W3C validator