Theorem fzosubel2 10630

Description: Membership in a translated half-open integer range implies translated membership in the original range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosubel2	|- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( C..^ D ) )

Proof of Theorem fzosubel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosubel 10629	. . 3 |- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) )
2	1	3ad2antr1 1193	. 2 |- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) )
3		zcn 9660	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
4		zcn 9660	. . . 4 |- ( C e. ZZ -> C e. CC )
5		zcn 9660	. . . 4 |- ( D e. ZZ -> D e. CC )
6		pncan2 8540	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( B + C ) - B ) = C )
7	6	3adant3 1048	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( B + C ) - B ) = C )
8		pncan2 8540	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( B + D ) - B ) = D )
9	8	3adant2 1047	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( B + D ) - B ) = D )
10	7, 9	oveq12d 6106	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) = ( C..^ D ) )
11	3, 4, 5, 10	syl3an 1320	. . 3 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) = ( C..^ D ) )
12	11	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) = ( C..^ D ) )
13	2, 12	eleqtrd 2317	1 |- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( C..^ D ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8183   + caddc 8188   - cmin 8504   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by:  fzosubel3  10631  ccatass  11398  pfxccatin12lem1  11522