Theorem fzosubel2 10363

Description: Membership in a translated half-open integer range implies translated membership in the original range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosubel2	|- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( C..^ D ) )

Proof of Theorem fzosubel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosubel 10362	. . 3 |- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) )
2	1	3ad2antr1 1165	. 2 |- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) )
3		zcn 9414	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
4		zcn 9414	. . . 4 |- ( C e. ZZ -> C e. CC )
5		zcn 9414	. . . 4 |- ( D e. ZZ -> D e. CC )
6		pncan2 8316	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( B + C ) - B ) = C )
7	6	3adant3 1020	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( B + C ) - B ) = C )
8		pncan2 8316	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( B + D ) - B ) = D )
9	8	3adant2 1019	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( B + D ) - B ) = D )
10	7, 9	oveq12d 5987	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) = ( C..^ D ) )
11	3, 4, 5, 10	syl3an 1292	. . 3 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) = ( C..^ D ) )
12	11	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( ( B + C ) - B )..^ ( ( B + D ) - B ) ) = ( C..^ D ) )
13	2, 12	eleqtrd 2286	1 |- ( ( A e. ( ( B + C )..^ ( B + D ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( C..^ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5969   CCcc 7960   + caddc 7965   - cmin 8280   ZZcz 9409  ..^cfzo 10301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-inn 9074  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-fz 10168  df-fzo 10302

This theorem is referenced by:  fzosubel3  10364  ccatass  11104  pfxccatin12lem1  11221