ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosubel2 Unicode version

Theorem fzosubel2 9965
Description: Membership in a translated half-open integer range implies translated membership in the original range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosubel2  |-  ( ( A  e.  ( ( B  +  C )..^ ( B  +  D
) )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  ( C..^ D ) )

Proof of Theorem fzosubel2
StepHypRef Expression
1 fzosubel 9964 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( B  +  C )..^ ( B  +  D
) )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  ( ( ( B  +  C )  -  B )..^ ( ( B  +  D )  -  B ) ) )
213ad2antr1 1146 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( B  +  C )..^ ( B  +  D
) )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  ( ( ( B  +  C
)  -  B )..^ ( ( B  +  D )  -  B
) ) )
3 zcn 9052 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
4 zcn 9052 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
5 zcn 9052 . . . 4  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
6 pncan2 7962 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  +  C )  -  B
)  =  C )
763adant3 1001 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( B  +  C
)  -  B )  =  C )
8 pncan2 7962 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( B  +  D )  -  B
)  =  D )
983adant2 1000 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( B  +  D
)  -  B )  =  D )
107, 9oveq12d 5785 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( ( B  +  C )  -  B
)..^ ( ( B  +  D )  -  B ) )  =  ( C..^ D ) )
113, 4, 5, 10syl3an 1258 . . 3  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( ( B  +  C )  -  B
)..^ ( ( B  +  D )  -  B ) )  =  ( C..^ D ) )
1211adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( B  +  C )..^ ( B  +  D
) )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( B  +  C )  -  B )..^ ( ( B  +  D )  -  B ) )  =  ( C..^ D ) )
132, 12eleqtrd 2216 1  |-  ( ( A  e.  ( ( B  +  C )..^ ( B  +  D
) )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  ( C..^ D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480  (class class class)co 5767   CCcc 7611    + caddc 7616    - cmin 7926   ZZcz 9047  ..^cfzo 9912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913
This theorem is referenced by:  fzosubel3  9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator