Theorem trireciplem 12027

Description: Lemma for trirecip 12028. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
trireciplem.1	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
trireciplem	|- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Proof of Theorem trireciplem

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9770	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9484	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		1cnd 8173	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. CC )
4		divcnv 12024	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
6		nnex 9127	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
7	6	mptex 5869	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V )
9	6	mptex 5869	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V )
11		peano2nn 9133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
13	12	nnrecred 9168	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR )
14		oveq2 6015	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
15		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
16	14, 15	fvmptg 5712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
17	12, 13, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
19		oveq1 6014	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( n + 1 ) = ( k + 1 ) )
20	19	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( 1 / ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
21		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) )
22	20, 21	fvmptg 5712	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
23	18, 13, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
24	17, 23	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) )
25	1, 2, 2, 8, 10, 24	climshft2 11833	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 ) )
26	5, 25	mpbird 167	. . . 4 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 )
27		seqex 10683	. . . . 5 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
28	27	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
29	13	recnd 8186	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. CC )
30	23, 29	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) e. CC )
31	23	oveq2d 6023	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
32		elfznn 10262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... k ) -> j e. NN )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. NN )
34	33	nncnd 9135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. CC )
35		peano2cn 8292	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. CC -> ( j + 1 ) e. CC )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
37		peano2nn 9133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
38	33, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
39	33, 38	nnmulcld 9170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. NN )
40	39	nncnd 9135	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
41	39	nnap0d 9167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
42	36, 34, 40, 41	divsubdirapd 8988	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
43		ax-1cn 8103	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
44		pncan2 8364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
45	34, 43, 44	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
46	45	oveq1d 6022	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
47	36	mulridd 8174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. 1 ) = ( j + 1 ) )
48	36, 34	mulcomd 8179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. j ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
49	47, 48	oveq12d 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
50		1cnd 8173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> 1 e. CC )
51	33	nnap0d 9167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j # 0 )
52	38	nnap0d 9167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
53	50, 34, 36, 51, 52	divcanap5d 8975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( 1 / j ) )
54	49, 53	eqtr3d 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / j ) )
55	34	mulridd 8174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. 1 ) = j )
56	55	oveq1d 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
57	50, 36, 34, 52, 51	divcanap5d 8975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
58	56, 57	eqtr3d 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
59	54, 58	oveq12d 6025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
60	42, 46, 59	3eqtr3d 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
61	60	sumeq2dv 11895	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
62		oveq2 6015	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( 1 / n ) = ( 1 / j ) )
63		oveq2 6015	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
64		oveq2 6015	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = ( 1 / 1 ) )
65		1div1e1 8862	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 1 ) = 1
66	64, 65	eqtrdi 2278	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = 1 )
67		nnz 9476	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
69	12, 1	eleqtrdi 2322	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
70		elfznn 10262	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> n e. NN )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> n e. NN )
72	71	nnrecred 9168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
73	72	recnd 8186	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
74	62, 63, 66, 14, 68, 69, 73	telfsum 11995	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
75	61, 74	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
76		elnnuz 9771	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
77	76	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
78	77	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
79		eluzelz 9743	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
81	80	zcnd 9581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. CC )
82	81, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
83	81, 82	mulcld 8178	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
84	78	nnap0d 9167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j # 0 )
85	78, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
86	85	nnap0d 9167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
87	81, 82, 84, 86	mulap0d 8816	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
88	83, 87	recclapd 8939	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
89		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> n = j )
90		oveq1 6014	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
91	89, 90	oveq12d 6025	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
92	91	oveq2d 6023	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
93		trireciplem.1	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
94	92, 93	fvmptg 5712	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
95	78, 88, 94	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
96	18, 1	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97	95, 96, 88	fsum3ser 11924	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
98	31, 75, 97	3eqtr2rd 2269	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 26, 3, 28, 30, 98	climsubc2 11860	. . 3 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 ) )
100	99	mptru 1404	. 2 |- seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 )
101		1m0e1 9234	. 2 |- ( 1 - 0 ) = 1
102	100, 101	breqtri 4108	1 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   x. cmul 8015   - cmin 8328   / cdiv 8830   NNcn 9121   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   ...cfz 10216   seqcseq 10681   ~~> cli 11805   sum_csu 11880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-ihash 11010  df-shft 11342  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-clim 11806  df-sumdc 11881

This theorem is referenced by:  trirecip  12028