Theorem trireciplem 11441

Description: Lemma for trirecip 11442. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
trireciplem.1	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
trireciplem	|- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Proof of Theorem trireciplem

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9501	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9218	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		1cnd 7915	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. CC )
4		divcnv 11438	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
6		nnex 8863	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
7	6	mptex 5711	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V )
9	6	mptex 5711	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V )
11		peano2nn 8869	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
12	11	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
13	12	nnrecred 8904	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR )
14		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
15		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
16	14, 15	fvmptg 5562	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
17	12, 13, 16	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
18		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
19		oveq1 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( n + 1 ) = ( k + 1 ) )
20	19	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( 1 / ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
21		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) )
22	20, 21	fvmptg 5562	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
23	18, 13, 22	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
24	17, 23	eqtr4d 2201	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) )
25	1, 2, 2, 8, 10, 24	climshft2 11247	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 ) )
26	5, 25	mpbird 166	. . . 4 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 )
27		seqex 10382	. . . . 5 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
28	27	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
29	13	recnd 7927	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. CC )
30	23, 29	eqeltrd 2243	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) e. CC )
31	23	oveq2d 5858	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
32		elfznn 9989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... k ) -> j e. NN )
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. NN )
34	33	nncnd 8871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. CC )
35		peano2cn 8033	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. CC -> ( j + 1 ) e. CC )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
37		peano2nn 8869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
38	33, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
39	33, 38	nnmulcld 8906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. NN )
40	39	nncnd 8871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
41	39	nnap0d 8903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
42	36, 34, 40, 41	divsubdirapd 8726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
43		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
44		pncan2 8105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
45	34, 43, 44	sylancl 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
46	45	oveq1d 5857	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
47	36	mulid1d 7916	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. 1 ) = ( j + 1 ) )
48	36, 34	mulcomd 7920	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. j ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
49	47, 48	oveq12d 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
50		1cnd 7915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> 1 e. CC )
51	33	nnap0d 8903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j # 0 )
52	38	nnap0d 8903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
53	50, 34, 36, 51, 52	divcanap5d 8713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( 1 / j ) )
54	49, 53	eqtr3d 2200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / j ) )
55	34	mulid1d 7916	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. 1 ) = j )
56	55	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
57	50, 36, 34, 52, 51	divcanap5d 8713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
58	56, 57	eqtr3d 2200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
59	54, 58	oveq12d 5860	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
60	42, 46, 59	3eqtr3d 2206	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
61	60	sumeq2dv 11309	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
62		oveq2 5850	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( 1 / n ) = ( 1 / j ) )
63		oveq2 5850	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
64		oveq2 5850	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = ( 1 / 1 ) )
65		1div1e1 8600	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 1 ) = 1
66	64, 65	eqtrdi 2215	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = 1 )
67		nnz 9210	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
68	67	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
69	12, 1	eleqtrdi 2259	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
70		elfznn 9989	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> n e. NN )
71	70	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> n e. NN )
72	71	nnrecred 8904	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
73	72	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
74	62, 63, 66, 14, 68, 69, 73	telfsum 11409	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
75	61, 74	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
76		elnnuz 9502	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
77	76	biimpri 132	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
78	77	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
79		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
80	79	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
81	80	zcnd 9314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. CC )
82	81, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
83	81, 82	mulcld 7919	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
84	78	nnap0d 8903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j # 0 )
85	78, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
86	85	nnap0d 8903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
87	81, 82, 84, 86	mulap0d 8555	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
88	83, 87	recclapd 8677	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
89		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> n = j )
90		oveq1 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
91	89, 90	oveq12d 5860	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
92	91	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
93		trireciplem.1	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
94	92, 93	fvmptg 5562	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
95	78, 88, 94	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
96	18, 1	eleqtrdi 2259	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97	95, 96, 88	fsum3ser 11338	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
98	31, 75, 97	3eqtr2rd 2205	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 26, 3, 28, 30, 98	climsubc2 11274	. . 3 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 ) )
100	99	mptru 1352	. 2 |- seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 )
101		1m0e1 8970	. 2 |- ( 1 - 0 ) = 1
102	100, 101	breqtri 4007	1 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   T. wtru 1344   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   - cmin 8069   / cdiv 8568   NNcn 8857   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   seqcseq 10380   ~~> cli 11219   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  trirecip  11442