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Theorem trireciplem 10894
Description: Lemma for trirecip 10895. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
trireciplem.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
trireciplem  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  1

Proof of Theorem trireciplem
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9054 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 8777 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 1cnd 7504 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
4 divcnv 10891 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
53, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
6 nnex 8428 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
76mptex 5523 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  _V
87a1i 9 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  _V )
96mptex 5523 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  e.  _V
109a1i 9 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  e.  _V )
11 peano2nn 8434 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1211adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1312nnrecred 8469 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
14 oveq2 5660 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
15 eqid 2088 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
1614, 15fvmptg 5380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) )
1712, 13, 16syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
18 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
19 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2019oveq2d 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( n  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
21 eqid 2088 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
2220, 21fvmptg 5380 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) `
 k )  =  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) )
2318, 13, 22syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2417, 23eqtr4d 2123 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )
251, 2, 2, 8, 10, 24climshft2 10695 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 ) )
265, 25mpbird 165 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  ~~>  0 )
27 seqex 9857 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  _V
2827a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
2913recnd 7516 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3023, 29eqeltrd 2164 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  e.  CC )
3123oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )
32 elfznn 9468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... k )  ->  j  e.  NN )
3332adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  NN )
3433nncnd 8436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  CC )
35 peano2cn 7617 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
37 peano2nn 8434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
3833, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
3933, 38nnmulcld 8471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4039nncnd 8436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4139nnap0d 8468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) #  0 )
4236, 34, 40, 41divsubdirapd 8297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
43 ax-1cn 7438 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
44 pncan2 7689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  j
)  =  1 )
4534, 43, 44sylancl 404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  -  j )  =  1 )
4645oveq1d 5667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
4736mulid1d 7505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  1 )  =  ( j  +  1 ) )
4836, 34mulcomd 7509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  j )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
4947, 48oveq12d 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( ( j  +  1 )  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
50 1cnd 7504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  1  e.  CC )
5133nnap0d 8468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j #  0 )
5238nnap0d 8468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 ) #  0 )
5350, 34, 36, 51, 52divcanap5d 8284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5449, 53eqtr3d 2122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5534mulid1d 7505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  1 )  =  j )
5655oveq1d 5667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( j  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
5750, 36, 34, 52, 51divcanap5d 8284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
5856, 57eqtr3d 2122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
5954, 58oveq12d 5670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6042, 46, 593eqtr3d 2128 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6160sumeq2dv 10757 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) ( ( 1  /  j
)  -  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
62 oveq2 5660 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
j ) )
63 oveq2 5660 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
64 oveq2 5660 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
65 1div1e1 8171 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6664, 65syl6eq 2136 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  1 )
67 nnz 8769 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
6867adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
6912, 1syl6eleq 2180 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
70 elfznn 9468 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  n  e.  NN )
7170adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
7271nnrecred 8469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
7372recnd 7516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  CC )
7462, 63, 66, 14, 68, 69, 73telfsum 10862 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
7561, 74eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
76 elnnuz 9055 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7776biimpri 131 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
7877adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  j  e.  NN )
79 eluzelz 9028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  ZZ )
8079adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  j  e.  ZZ )
8180zcnd 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  j  e.  CC )
8281, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
8381, 82mulcld 7508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
8478nnap0d 8468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  j #  0
)
8578, 37syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
8685nnap0d 8468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  +  1 ) #  0 )
8781, 82, 84, 86mulap0d 8127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) #  0 )
8883, 87recclapd 8248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
89 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  n  =  j )
90 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
9189, 90oveq12d 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
9291oveq2d 5668 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
93 trireciplem.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
9492, 93fvmptg 5380 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
9578, 88, 94syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( F `  j )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
9618, 1syl6eleq 2180 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9795, 96, 88fsum3ser 10791 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) )
9831, 75, 973eqtr2rd 2127 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( 1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) `
 k ) ) )
991, 2, 26, 3, 28, 30, 98climsubc2 10721 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  0 ) )
10099mptru 1298 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( 1  -  0 )
101 1m0e1 8535 . 2  |-  ( 1  -  0 )  =  1
102100, 101breqtri 3868 1  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1289   T. wtru 1290    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    x. cmul 7355    - cmin 7653    / cdiv 8139   NNcn 8422   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424    seqcseq 9852    ~~> cli 10666   sum_csu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-shft 10249  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
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