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Theorem trireciplem 11209
Description: Lemma for trirecip 11210. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
trireciplem.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
trireciplem  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  1

Proof of Theorem trireciplem
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9310 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 9032 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 1cnd 7746 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
4 divcnv 11206 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
53, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
6 nnex 8683 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
76mptex 5612 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  _V
87a1i 9 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  _V )
96mptex 5612 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  e.  _V
109a1i 9 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  e.  _V )
11 peano2nn 8689 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1211adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1312nnrecred 8724 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
14 oveq2 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
15 eqid 2115 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
1614, 15fvmptg 5463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) )
1712, 13, 16syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
18 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
19 oveq1 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2019oveq2d 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( n  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
21 eqid 2115 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
2220, 21fvmptg 5463 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) `
 k )  =  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) )
2318, 13, 22syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2417, 23eqtr4d 2151 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )
251, 2, 2, 8, 10, 24climshft2 11015 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 ) )
265, 25mpbird 166 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  ~~>  0 )
27 seqex 10160 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  _V
2827a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
2913recnd 7758 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3023, 29eqeltrd 2192 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  e.  CC )
3123oveq2d 5756 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )
32 elfznn 9774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... k )  ->  j  e.  NN )
3332adantl 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  NN )
3433nncnd 8691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  CC )
35 peano2cn 7861 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
37 peano2nn 8689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
3833, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
3933, 38nnmulcld 8726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4039nncnd 8691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4139nnap0d 8723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) #  0 )
4236, 34, 40, 41divsubdirapd 8550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
43 ax-1cn 7677 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
44 pncan2 7933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  j
)  =  1 )
4534, 43, 44sylancl 407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  -  j )  =  1 )
4645oveq1d 5755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
4736mulid1d 7747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  1 )  =  ( j  +  1 ) )
4836, 34mulcomd 7751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  j )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
4947, 48oveq12d 5758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( ( j  +  1 )  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
50 1cnd 7746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  1  e.  CC )
5133nnap0d 8723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j #  0 )
5238nnap0d 8723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 ) #  0 )
5350, 34, 36, 51, 52divcanap5d 8537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5449, 53eqtr3d 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5534mulid1d 7747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  1 )  =  j )
5655oveq1d 5755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( j  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
5750, 36, 34, 52, 51divcanap5d 8537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
5856, 57eqtr3d 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
5954, 58oveq12d 5758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6042, 46, 593eqtr3d 2156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6160sumeq2dv 11077 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) ( ( 1  /  j
)  -  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
62 oveq2 5748 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
j ) )
63 oveq2 5748 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
64 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
65 1div1e1 8424 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6664, 65syl6eq 2164 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  1 )
67 nnz 9024 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
6867adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
6912, 1syl6eleq 2208 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
70 elfznn 9774 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  n  e.  NN )
7170adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
7271nnrecred 8724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
7372recnd 7758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  CC )
7462, 63, 66, 14, 68, 69, 73telfsum 11177 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
7561, 74eqtrd 2148 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
76 elnnuz 9311 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7776biimpri 132 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
7877adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  j  e.  NN )
79 eluzelz 9284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  ZZ )
8079adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  j  e.  ZZ )
8180zcnd 9125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  j  e.  CC )
8281, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
8381, 82mulcld 7750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
8478nnap0d 8723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  j #  0
)
8578, 37syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
8685nnap0d 8723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  +  1 ) #  0 )
8781, 82, 84, 86mulap0d 8379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) #  0 )
8883, 87recclapd 8501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
89 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  n  =  j )
90 oveq1 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
9189, 90oveq12d 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
9291oveq2d 5756 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
93 trireciplem.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
9492, 93fvmptg 5463 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
9578, 88, 94syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( F `  j )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
9618, 1syl6eleq 2208 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9795, 96, 88fsum3ser 11106 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) )
9831, 75, 973eqtr2rd 2155 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( 1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) `
 k ) ) )
991, 2, 26, 3, 28, 30, 98climsubc2 11042 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  0 ) )
10099mptru 1323 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( 1  -  0 )
101 1m0e1 8790 . 2  |-  ( 1  -  0 )  =  1
102100, 101breqtri 3921 1  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1314   T. wtru 1315    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589    - cmin 7897    / cdiv 8392   NNcn 8677   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730    seqcseq 10158    ~~> cli 10987   sum_csu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-shft 10527  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by:  trirecip  11210
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