Theorem trireciplem 11508

Description: Lemma for trirecip 11509. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
trireciplem.1	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
trireciplem	|- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Proof of Theorem trireciplem

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9563	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9280	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		1cnd 7973	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. CC )
4		divcnv 11505	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
6		nnex 8925	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
7	6	mptex 5743	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V )
9	6	mptex 5743	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V )
11		peano2nn 8931	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
13	12	nnrecred 8966	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR )
14		oveq2 5883	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
15		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
16	14, 15	fvmptg 5593	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
17	12, 13, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
19		oveq1 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( n + 1 ) = ( k + 1 ) )
20	19	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( 1 / ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
21		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) )
22	20, 21	fvmptg 5593	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
23	18, 13, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
24	17, 23	eqtr4d 2213	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) )
25	1, 2, 2, 8, 10, 24	climshft2 11314	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 ) )
26	5, 25	mpbird 167	. . . 4 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 )
27		seqex 10447	. . . . 5 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
28	27	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
29	13	recnd 7986	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. CC )
30	23, 29	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) e. CC )
31	23	oveq2d 5891	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
32		elfznn 10054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... k ) -> j e. NN )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. NN )
34	33	nncnd 8933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. CC )
35		peano2cn 8092	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. CC -> ( j + 1 ) e. CC )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
37		peano2nn 8931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
38	33, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
39	33, 38	nnmulcld 8968	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. NN )
40	39	nncnd 8933	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
41	39	nnap0d 8965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
42	36, 34, 40, 41	divsubdirapd 8787	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
43		ax-1cn 7904	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
44		pncan2 8164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
45	34, 43, 44	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
46	45	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
47	36	mulridd 7974	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. 1 ) = ( j + 1 ) )
48	36, 34	mulcomd 7979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. j ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
49	47, 48	oveq12d 5893	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
50		1cnd 7973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> 1 e. CC )
51	33	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j # 0 )
52	38	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
53	50, 34, 36, 51, 52	divcanap5d 8774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( 1 / j ) )
54	49, 53	eqtr3d 2212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / j ) )
55	34	mulridd 7974	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. 1 ) = j )
56	55	oveq1d 5890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
57	50, 36, 34, 52, 51	divcanap5d 8774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
58	56, 57	eqtr3d 2212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
59	54, 58	oveq12d 5893	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
60	42, 46, 59	3eqtr3d 2218	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
61	60	sumeq2dv 11376	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
62		oveq2 5883	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( 1 / n ) = ( 1 / j ) )
63		oveq2 5883	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
64		oveq2 5883	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = ( 1 / 1 ) )
65		1div1e1 8661	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 1 ) = 1
66	64, 65	eqtrdi 2226	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = 1 )
67		nnz 9272	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
69	12, 1	eleqtrdi 2270	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
70		elfznn 10054	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> n e. NN )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> n e. NN )
72	71	nnrecred 8966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
73	72	recnd 7986	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
74	62, 63, 66, 14, 68, 69, 73	telfsum 11476	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
75	61, 74	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
76		elnnuz 9564	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
77	76	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
78	77	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
79		eluzelz 9537	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
81	80	zcnd 9376	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. CC )
82	81, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
83	81, 82	mulcld 7978	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
84	78	nnap0d 8965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j # 0 )
85	78, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
86	85	nnap0d 8965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
87	81, 82, 84, 86	mulap0d 8615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
88	83, 87	recclapd 8738	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
89		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> n = j )
90		oveq1 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
91	89, 90	oveq12d 5893	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
92	91	oveq2d 5891	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
93		trireciplem.1	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
94	92, 93	fvmptg 5593	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
95	78, 88, 94	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
96	18, 1	eleqtrdi 2270	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97	95, 96, 88	fsum3ser 11405	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
98	31, 75, 97	3eqtr2rd 2217	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 26, 3, 28, 30, 98	climsubc2 11341	. . 3 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 ) )
100	99	mptru 1362	. 2 |- seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 )
101		1m0e1 9032	. 2 |- ( 1 - 0 ) = 1
102	100, 101	breqtri 4029	1 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   x. cmul 7816   - cmin 8128   / cdiv 8629   NNcn 8919   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   ...cfz 10008   seqcseq 10445   ~~> cli 11286   sum_csu 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362

This theorem is referenced by:  trirecip  11509