Theorem trireciplem 11668

Description: Lemma for trirecip 11669. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
trireciplem.1	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
trireciplem	|- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Proof of Theorem trireciplem

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9640	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9356	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		1cnd 8045	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. CC )
4		divcnv 11665	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
6		nnex 8999	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
7	6	mptex 5789	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V )
9	6	mptex 5789	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V )
11		peano2nn 9005	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
13	12	nnrecred 9040	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR )
14		oveq2 5931	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
15		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
16	14, 15	fvmptg 5638	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
17	12, 13, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
19		oveq1 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( n + 1 ) = ( k + 1 ) )
20	19	oveq2d 5939	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( 1 / ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
21		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) )
22	20, 21	fvmptg 5638	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
23	18, 13, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
24	17, 23	eqtr4d 2232	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) )
25	1, 2, 2, 8, 10, 24	climshft2 11474	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 ) )
26	5, 25	mpbird 167	. . . 4 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 )
27		seqex 10544	. . . . 5 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
28	27	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
29	13	recnd 8058	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. CC )
30	23, 29	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) e. CC )
31	23	oveq2d 5939	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
32		elfznn 10132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... k ) -> j e. NN )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. NN )
34	33	nncnd 9007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. CC )
35		peano2cn 8164	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. CC -> ( j + 1 ) e. CC )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
37		peano2nn 9005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
38	33, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
39	33, 38	nnmulcld 9042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. NN )
40	39	nncnd 9007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
41	39	nnap0d 9039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
42	36, 34, 40, 41	divsubdirapd 8860	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
43		ax-1cn 7975	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
44		pncan2 8236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
45	34, 43, 44	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
46	45	oveq1d 5938	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
47	36	mulridd 8046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. 1 ) = ( j + 1 ) )
48	36, 34	mulcomd 8051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. j ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
49	47, 48	oveq12d 5941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
50		1cnd 8045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> 1 e. CC )
51	33	nnap0d 9039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j # 0 )
52	38	nnap0d 9039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
53	50, 34, 36, 51, 52	divcanap5d 8847	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( 1 / j ) )
54	49, 53	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / j ) )
55	34	mulridd 8046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. 1 ) = j )
56	55	oveq1d 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
57	50, 36, 34, 52, 51	divcanap5d 8847	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
58	56, 57	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
59	54, 58	oveq12d 5941	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
60	42, 46, 59	3eqtr3d 2237	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
61	60	sumeq2dv 11536	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
62		oveq2 5931	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( 1 / n ) = ( 1 / j ) )
63		oveq2 5931	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
64		oveq2 5931	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = ( 1 / 1 ) )
65		1div1e1 8734	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 1 ) = 1
66	64, 65	eqtrdi 2245	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = 1 )
67		nnz 9348	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
69	12, 1	eleqtrdi 2289	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
70		elfznn 10132	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> n e. NN )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> n e. NN )
72	71	nnrecred 9040	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
73	72	recnd 8058	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
74	62, 63, 66, 14, 68, 69, 73	telfsum 11636	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
75	61, 74	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
76		elnnuz 9641	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
77	76	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
78	77	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
79		eluzelz 9613	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
81	80	zcnd 9452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. CC )
82	81, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
83	81, 82	mulcld 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
84	78	nnap0d 9039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j # 0 )
85	78, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
86	85	nnap0d 9039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
87	81, 82, 84, 86	mulap0d 8688	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
88	83, 87	recclapd 8811	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
89		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> n = j )
90		oveq1 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
91	89, 90	oveq12d 5941	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
92	91	oveq2d 5939	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
93		trireciplem.1	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
94	92, 93	fvmptg 5638	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
95	78, 88, 94	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
96	18, 1	eleqtrdi 2289	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97	95, 96, 88	fsum3ser 11565	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
98	31, 75, 97	3eqtr2rd 2236	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 26, 3, 28, 30, 98	climsubc2 11501	. . 3 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 ) )
100	99	mptru 1373	. 2 |- seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 )
101		1m0e1 9106	. 2 |- ( 1 - 0 ) = 1
102	100, 101	breqtri 4059	1 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7880   RRcr 7881   0cc0 7882   1c1 7883   + caddc 7885   x. cmul 7887   - cmin 8200   / cdiv 8702   NNcn 8993   ZZcz 9329   ZZ>=cuz 9604   ...cfz 10086   seqcseq 10542   ~~> cli 11446   sum_csu 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-ihash 10871  df-shft 10983  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522

This theorem is referenced by:  trirecip  11669