Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  trireciplem Unicode version

Theorem trireciplem 11209
 Description: Lemma for trirecip 11210. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
trireciplem.1
Assertion
Ref Expression
trireciplem

Proof of Theorem trireciplem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9310 . . . 4
2 1zzd 9032 . . . 4
3 1cnd 7746 . . . . . 6
4 divcnv 11206 . . . . . 6
53, 4syl 14 . . . . 5
6 nnex 8683 . . . . . . . 8
76mptex 5612 . . . . . . 7
87a1i 9 . . . . . 6
96mptex 5612 . . . . . . 7
109a1i 9 . . . . . 6
11 peano2nn 8689 . . . . . . . . 9
1211adantl 273 . . . . . . . 8
1312nnrecred 8724 . . . . . . . 8
14 oveq2 5748 . . . . . . . . 9
15 eqid 2115 . . . . . . . . 9
1614, 15fvmptg 5463 . . . . . . . 8
1712, 13, 16syl2anc 406 . . . . . . 7
18 simpr 109 . . . . . . . 8
19 oveq1 5747 . . . . . . . . . 10
2019oveq2d 5756 . . . . . . . . 9
21 eqid 2115 . . . . . . . . 9
2220, 21fvmptg 5463 . . . . . . . 8
2318, 13, 22syl2anc 406 . . . . . . 7
2417, 23eqtr4d 2151 . . . . . 6
251, 2, 2, 8, 10, 24climshft2 11015 . . . . 5
265, 25mpbird 166 . . . 4
27 seqex 10160 . . . . 5
2827a1i 9 . . . 4
2913recnd 7758 . . . . 5
3023, 29eqeltrd 2192 . . . 4
3123oveq2d 5756 . . . . 5
32 elfznn 9774 . . . . . . . . . . . 12
3332adantl 273 . . . . . . . . . . 11
3433nncnd 8691 . . . . . . . . . 10
35 peano2cn 7861 . . . . . . . . . 10
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9
37 peano2nn 8689 . . . . . . . . . . . 12
3833, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11
3933, 38nnmulcld 8726 . . . . . . . . . 10
4039nncnd 8691 . . . . . . . . 9
4139nnap0d 8723 . . . . . . . . 9 #
4236, 34, 40, 41divsubdirapd 8550 . . . . . . . 8
43 ax-1cn 7677 . . . . . . . . . 10
44 pncan2 7933 . . . . . . . . . 10
4534, 43, 44sylancl 407 . . . . . . . . 9
4645oveq1d 5755 . . . . . . . 8
4736mulid1d 7747 . . . . . . . . . . 11
4836, 34mulcomd 7751 . . . . . . . . . . 11
4947, 48oveq12d 5758 . . . . . . . . . 10
50 1cnd 7746 . . . . . . . . . . 11
5133nnap0d 8723 . . . . . . . . . . 11 #
5238nnap0d 8723 . . . . . . . . . . 11 #
5350, 34, 36, 51, 52divcanap5d 8537 . . . . . . . . . 10
5449, 53eqtr3d 2150 . . . . . . . . 9
5534mulid1d 7747 . . . . . . . . . . 11
5655oveq1d 5755 . . . . . . . . . 10
5750, 36, 34, 52, 51divcanap5d 8537 . . . . . . . . . 10
5856, 57eqtr3d 2150 . . . . . . . . 9
5954, 58oveq12d 5758 . . . . . . . 8
6042, 46, 593eqtr3d 2156 . . . . . . 7
6160sumeq2dv 11077 . . . . . 6
62 oveq2 5748 . . . . . . 7
63 oveq2 5748 . . . . . . 7
64 oveq2 5748 . . . . . . . 8
65 1div1e1 8424 . . . . . . . 8
6664, 65syl6eq 2164 . . . . . . 7
67 nnz 9024 . . . . . . . 8
6867adantl 273 . . . . . . 7
6912, 1syl6eleq 2208 . . . . . . 7
70 elfznn 9774 . . . . . . . . . 10
7170adantl 273 . . . . . . . . 9
7271nnrecred 8724 . . . . . . . 8
7372recnd 7758 . . . . . . 7
7462, 63, 66, 14, 68, 69, 73telfsum 11177 . . . . . 6
7561, 74eqtrd 2148 . . . . 5
76 elnnuz 9311 . . . . . . . . 9
7776biimpri 132 . . . . . . . 8
7877adantl 273 . . . . . . 7
79 eluzelz 9284 . . . . . . . . . . 11
8079adantl 273 . . . . . . . . . 10
8180zcnd 9125 . . . . . . . . 9
8281, 35syl 14 . . . . . . . . 9
8381, 82mulcld 7750 . . . . . . . 8
8478nnap0d 8723 . . . . . . . . 9 #
8578, 37syl 14 . . . . . . . . . 10
8685nnap0d 8723 . . . . . . . . 9 #
8781, 82, 84, 86mulap0d 8379 . . . . . . . 8 #
8883, 87recclapd 8501 . . . . . . 7
89 id 19 . . . . . . . . . 10
90 oveq1 5747 . . . . . . . . . 10
9189, 90oveq12d 5758 . . . . . . . . 9
9291oveq2d 5756 . . . . . . . 8
93 trireciplem.1 . . . . . . . 8
9492, 93fvmptg 5463 . . . . . . 7
9578, 88, 94syl2anc 406 . . . . . 6
9618, 1syl6eleq 2208 . . . . . 6
9795, 96, 88fsum3ser 11106 . . . . 5
9831, 75, 973eqtr2rd 2155 . . . 4
991, 2, 26, 3, 28, 30, 98climsubc2 11042 . . 3
10099mptru 1323 . 2
101 1m0e1 8790 . 2
102100, 101breqtri 3921 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wceq 1314   wtru 1315   wcel 1463  cvv 2658   class class class wbr 3897   cmpt 3957  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  cc0 7584  c1 7585   caddc 7587   cmul 7589   cmin 7897   cdiv 8392  cn 8677  cz 9005  cuz 9275  cfz 9730   cseq 10158   cli 10987  csu 11062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-shft 10527  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063 This theorem is referenced by:  trirecip  11210
 Copyright terms: Public domain W3C validator