Theorem trireciplem 12141

Description: Lemma for trirecip 12142. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
trireciplem.1	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
trireciplem	|- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Proof of Theorem trireciplem

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9853	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9567	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		1cnd 8255	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. CC )
4		divcnv 12138	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
6		nnex 9208	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
7	6	mptex 5890	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V )
9	6	mptex 5890	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) e. _V )
11		peano2nn 9214	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
13	12	nnrecred 9249	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR )
14		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
15		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
16	14, 15	fvmptg 5731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
17	12, 13, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
19		oveq1 6035	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( n + 1 ) = ( k + 1 ) )
20	19	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( 1 / ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
21		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) )
22	20, 21	fvmptg 5731	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
23	18, 13, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
24	17, 23	eqtr4d 2267	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) )
25	1, 2, 2, 8, 10, 24	climshft2 11946	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 ) )
26	5, 25	mpbird 167	. . . 4 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ~~> 0 )
27		seqex 10774	. . . . 5 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
28	27	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
29	13	recnd 8267	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. CC )
30	23, 29	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) e. CC )
31	23	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
32		elfznn 10351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... k ) -> j e. NN )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. NN )
34	33	nncnd 9216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. CC )
35		peano2cn 8373	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. CC -> ( j + 1 ) e. CC )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
37		peano2nn 9214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
38	33, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
39	33, 38	nnmulcld 9251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. NN )
40	39	nncnd 9216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
41	39	nnap0d 9248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
42	36, 34, 40, 41	divsubdirapd 9069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
43		ax-1cn 8185	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
44		pncan2 8445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
45	34, 43, 44	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) - j ) = 1 )
46	45	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) - j ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
47	36	mulridd 8256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. 1 ) = ( j + 1 ) )
48	36, 34	mulcomd 8260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) x. j ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
49	47, 48	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
50		1cnd 8255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> 1 e. CC )
51	33	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j # 0 )
52	38	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
53	50, 34, 36, 51, 52	divcanap5d 9056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) x. 1 ) / ( ( j + 1 ) x. j ) ) = ( 1 / j ) )
54	49, 53	eqtr3d 2266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / j ) )
55	34	mulridd 8256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j x. 1 ) = j )
56	55	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
57	50, 36, 34, 52, 51	divcanap5d 9056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( j x. 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
58	56, 57	eqtr3d 2266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
59	54, 58	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( j + 1 ) / ( j x. ( j + 1 ) ) ) - ( j / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
60	42, 46, 59	3eqtr3d 2272	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
61	60	sumeq2dv 12008	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) )
62		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( 1 / n ) = ( 1 / j ) )
63		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( j + 1 ) ) )
64		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = ( 1 / 1 ) )
65		1div1e1 8943	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 1 ) = 1
66	64, 65	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = 1 )
67		nnz 9559	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
69	12, 1	eleqtrdi 2324	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
70		elfznn 10351	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> n e. NN )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> n e. NN )
72	71	nnrecred 9249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
73	72	recnd 8267	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
74	62, 63, 66, 14, 68, 69, 73	telfsum 12109	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( ( 1 / j ) - ( 1 / ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
75	61, 74	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) ) )
76		elnnuz 9854	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
77	76	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
78	77	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
79		eluzelz 9826	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
81	80	zcnd 9664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. CC )
82	81, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
83	81, 82	mulcld 8259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
84	78	nnap0d 9248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j # 0 )
85	78, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
86	85	nnap0d 9248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j + 1 ) # 0 )
87	81, 82, 84, 86	mulap0d 8897	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) # 0 )
88	83, 87	recclapd 9020	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
89		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> n = j )
90		oveq1 6035	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
91	89, 90	oveq12d 6046	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
92	91	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
93		trireciplem.1	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
94	92, 93	fvmptg 5731	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
95	78, 88, 94	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
96	18, 1	eleqtrdi 2324	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97	95, 96, 88	fsum3ser 12038	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
98	31, 75, 97	3eqtr2rd 2271	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( 1 - ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 26, 3, 28, 30, 98	climsubc2 11973	. . 3 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 ) )
100	99	mptru 1407	. 2 |- seq 1 ( + , F ) ~~> ( 1 - 0 )
101		1m0e1 9315	. 2 |- ( 1 - 0 ) = 1
102	100, 101	breqtri 4118	1 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   - cmin 8409   / cdiv 8911   NNcn 9202   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305   seqcseq 10772   ~~> cli 11918   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-ihash 11101  df-shft 11455  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  trirecip  12142