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Theorem prmuloc 7699
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
Distinct variable groups:   A, d, u   B, d, u   L, d, u   U, d, u
Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables p r x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7542 . . 3 |- ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )
21adantl 277 . 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )
3 prml 7610 . . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. r e. Q. r e. L )
43ad2antrr 488 . . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) -> E. r e. Q. r e. L )
5 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> r e. Q. )
6 simplrl 535 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> x e. Q. )
7 mulclnq 7509 . . . . . 6 |- ( ( r e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( r .Q x ) e. Q. )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> ( r .Q x ) e. Q. )
9 ltrelnq 7498 . . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
109brel 4735 . . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
1110simprd 114 . . . . . 6 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
1211ad3antlr 493 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> B e. Q. )
13 appdiv0nq 7697 . . . . 5 |- ( ( ( r .Q x ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. p e. Q. ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
148, 12, 13syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> E. p e. Q. ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
15 prarloc 7636 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1615adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1716adantlr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1817ad2ant2r 509 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
19 r2ex 2527 . . . . . . 7 |- ( E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) <-> E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) )
2018, 19sylib 122 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) )
21 elprnql 7614 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2221adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2322adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2423adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2524ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> d e. Q. )
2625adantrr 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> d e. Q. )
27 simplll 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> <. L , U >. e. P. )
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> <. L , U >. e. P. )
29 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( d e. L /\ u e. U ) )
3029simprd 114 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u e. U )
31 elprnqu 7615 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ u e. U ) -> u e. Q. )
3228, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u e. Q. )
33 prltlu 7620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ r e. L /\ u e. U ) -> r <Q u )
34333adant1r 1234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r e. L /\ u e. U ) -> r <Q u )
35343adant2l 1235 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ u e. U ) -> r <Q u )
36353adant3l 1237 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
37363adant1r 1234 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
38373expa 1206 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
3938ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> r <Q u )
40 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u <Q ( d +Q p ) )
41 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> ( A +Q x ) = B )
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( A +Q x ) = B )
43 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
4410simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
4544ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> A e. Q. )
4645ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> A e. Q. )
4712ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> B e. Q. )
48 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> p e. Q. )
496ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> x e. Q. )
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 7698 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) )
51 df-3an 983 . . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) <-> ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5229, 50, 51sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5326, 32, 52jca31 309 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
5453ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> ( ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) -> ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) ) )
55542eximdv 1906 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> ( E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) ) )
5620, 55mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
57 r2ex 2527 . . . . 5 |- ( E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) <-> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
5856, 57sylibr 134 . . . 4 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5914, 58rexlimddv 2629 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
604, 59rexlimddv 2629 . 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
612, 60rexlimddv 2629 1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   E.wrex 2486   <.cop 3641   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   Q.cnq 7413   +Q cplq 7415   .Q cmq 7416   <Q cltq 7418   P.cnp 7424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-1o 6515  df-2o 6516  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-lti 7440  df-plpq 7477  df-mpq 7478  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482  df-mqqs 7483  df-1nqqs 7484  df-rq 7485  df-ltnqqs 7486  df-enq0 7557  df-nq0 7558  df-0nq0 7559  df-plq0 7560  df-mq0 7561  df-inp 7599
This theorem is referenced by:  prmuloc2  7700  mullocpr  7704
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