ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloc Unicode version

Theorem prmuloc 7556
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, d, u    B, d, u    L, d, u    U, d, u

Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables  p  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7399 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B )
21adantl 277 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B )
3 prml 7467 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  L )
43ad2antrr 488 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  L
)
5 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
r  e.  Q. )
6 simplrl 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  x  e.  Q. )
7 mulclnq 7366 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( r  .Q  x
)  e.  Q. )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
( r  .Q  x
)  e.  Q. )
9 ltrelnq 7355 . . . . . . . 8  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
109brel 4675 . . . . . . 7  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
1110simprd 114 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
1211ad3antlr 493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  B  e.  Q. )
13 appdiv0nq 7554 . . . . 5  |-  ( ( ( r  .Q  x
)  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. p  e.  Q.  ( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
148, 12, 13syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  E. p  e.  Q.  ( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
15 prarloc 7493 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  p  e.  Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1615adantlr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  p  e.  Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1716adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  p  e. 
Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1817ad2ant2r 509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
19 r2ex 2497 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p
)  <->  E. d E. u
( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )
2018, 19sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U
)  /\  u  <Q  ( d  +Q  p ) ) )
21 elprnql 7471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2221adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2322adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2423adantlr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2524ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )  ->  d  e.  Q. )
2625adantrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
d  e.  Q. )
27 simplll 533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  <. L ,  U >.  e. 
P. )
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  <. L ,  U >.  e. 
P. )
29 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )
3029simprd 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  e.  U )
31 elprnqu 7472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  Q. )
3228, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  e.  Q. )
33 prltlu 7477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  r  e.  L  /\  u  e.  U
)  ->  r  <Q  u )
34333adant1r 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  e.  L  /\  u  e.  U )  ->  r  <Q  u )
35343adant2l 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  u  e.  U
)  ->  r  <Q  u )
36353adant3l 1234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )  ->  r  <Q  u )
37363adant1r 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U )
)  ->  r  <Q  u )
38373expa 1203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U ) )  -> 
r  <Q  u )
3938ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
r  <Q  u )
40 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
41 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
( A  +Q  x
)  =  B )
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( A  +Q  x
)  =  B )
43 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
4410simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
<Q  B  ->  A  e. 
Q. )
4544ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  A  e.  Q. )
4645ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  A  e.  Q. )
4712ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  B  e.  Q. )
48 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  p  e.  Q. )
496ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  x  e.  Q. )
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 7555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )
51 df-3an 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )  <->  ( (
d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5229, 50, 51sylanbrc 417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5326, 32, 52jca31 309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( ( d  e. 
Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
5453ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  -> 
( ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) )  ->  (
( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) ) )
55542eximdv 1882 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  -> 
( E. d E. u ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) ) )
5620, 55mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
57 r2ex 2497 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )  <->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
5856, 57sylibr 134 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5914, 58rexlimddv 2599 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
604, 59rexlimddv 2599 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
612, 60rexlimddv 2599 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   E.wrex 2456   <.cop 3594   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   Q.cnq 7270    +Q cplq 7272    .Q cmq 7273    <Q cltq 7275   P.cnp 7281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456
This theorem is referenced by:  prmuloc2  7557  mullocpr  7561
  Copyright terms: Public domain W3C validator