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Theorem prmuloc 7381
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, d, u    B, d, u    L, d, u    U, d, u

Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables  p  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7224 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B )
21adantl 275 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B )
3 prml 7292 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  L )
43ad2antrr 479 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  L
)
5 simprl 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
r  e.  Q. )
6 simplrl 524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  x  e.  Q. )
7 mulclnq 7191 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( r  .Q  x
)  e.  Q. )
85, 6, 7syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
( r  .Q  x
)  e.  Q. )
9 ltrelnq 7180 . . . . . . . 8  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
109brel 4591 . . . . . . 7  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
1110simprd 113 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
1211ad3antlr 484 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  B  e.  Q. )
13 appdiv0nq 7379 . . . . 5  |-  ( ( ( r  .Q  x
)  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. p  e.  Q.  ( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
148, 12, 13syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  E. p  e.  Q.  ( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
15 prarloc 7318 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  p  e.  Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1615adantlr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  p  e.  Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1716adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  p  e. 
Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1817ad2ant2r 500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
19 r2ex 2455 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p
)  <->  E. d E. u
( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )
2018, 19sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U
)  /\  u  <Q  ( d  +Q  p ) ) )
21 elprnql 7296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2221adantlr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2322adantlr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2423adantlr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2524ad2ant2r 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )  ->  d  e.  Q. )
2625adantrr 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
d  e.  Q. )
27 simplll 522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  <. L ,  U >.  e. 
P. )
2827ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  <. L ,  U >.  e. 
P. )
29 simprl 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )
3029simprd 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  e.  U )
31 elprnqu 7297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  Q. )
3228, 30, 31syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  e.  Q. )
33 prltlu 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  r  e.  L  /\  u  e.  U
)  ->  r  <Q  u )
34333adant1r 1209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  e.  L  /\  u  e.  U )  ->  r  <Q  u )
35343adant2l 1210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  u  e.  U
)  ->  r  <Q  u )
36353adant3l 1212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )  ->  r  <Q  u )
37363adant1r 1209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U )
)  ->  r  <Q  u )
38373expa 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U ) )  -> 
r  <Q  u )
3938ad2ant2r 500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
r  <Q  u )
40 simprr 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
41 simplrr 525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
( A  +Q  x
)  =  B )
4241ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( A  +Q  x
)  =  B )
43 simplrr 525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
4410simpld 111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
<Q  B  ->  A  e. 
Q. )
4544ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  A  e.  Q. )
4645ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  A  e.  Q. )
4712ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  B  e.  Q. )
48 simplrl 524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  p  e.  Q. )
496ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  x  e.  Q. )
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 7380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )
51 df-3an 964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )  <->  ( (
d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5229, 50, 51sylanbrc 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5326, 32, 52jca31 307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( ( d  e. 
Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
5453ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  -> 
( ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) )  ->  (
( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) ) )
55542eximdv 1854 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  -> 
( E. d E. u ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) ) )
5620, 55mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
57 r2ex 2455 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )  <->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
5856, 57sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5914, 58rexlimddv 2554 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
604, 59rexlimddv 2554 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
612, 60rexlimddv 2554 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   E.wrex 2417   <.cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   Q.cnq 7095    +Q cplq 7097    .Q cmq 7098    <Q cltq 7100   P.cnp 7106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-mqqs 7165  df-1nqqs 7166  df-rq 7167  df-ltnqqs 7168  df-enq0 7239  df-nq0 7240  df-0nq0 7241  df-plq0 7242  df-mq0 7243  df-inp 7281
This theorem is referenced by:  prmuloc2  7382  mullocpr  7386
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