ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloc Unicode version
Theorem prmuloc 7650
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
Distinct variable groups:   A, d, u   B, d, u   L, d, u   U, d, u
Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables p r x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7493 . . 3 |- ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )
21adantl 277 . 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )
3 prml 7561 . . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. r e. Q. r e. L )
43ad2antrr 488 . . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) -> E. r e. Q. r e. L )
5 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> r e. Q. )
6 simplrl 535 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> x e. Q. )
7 mulclnq 7460 . . . . . 6 |- ( ( r e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( r .Q x ) e. Q. )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> ( r .Q x ) e. Q. )
9 ltrelnq 7449 . . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
109brel 4716 . . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
1110simprd 114 . . . . . 6 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
1211ad3antlr 493 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> B e. Q. )
13 appdiv0nq 7648 . . . . 5 |- ( ( ( r .Q x ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. p e. Q. ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
148, 12, 13syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> E. p e. Q. ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
15 prarloc 7587 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1615adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1716adantlr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1817ad2ant2r 509 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
19 r2ex 2517 . . . . . . 7 |- ( E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) <-> E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) )
2018, 19sylib 122 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) )
21 elprnql 7565 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2221adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2322adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2423adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2524ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> d e. Q. )
2625adantrr 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> d e. Q. )
27 simplll 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> <. L , U >. e. P. )
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> <. L , U >. e. P. )
29 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( d e. L /\ u e. U ) )
3029simprd 114 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u e. U )
31 elprnqu 7566 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ u e. U ) -> u e. Q. )
3228, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u e. Q. )
33 prltlu 7571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ r e. L /\ u e. U ) -> r <Q u )
34333adant1r 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r e. L /\ u e. U ) -> r <Q u )
35343adant2l 1234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ u e. U ) -> r <Q u )
36353adant3l 1236 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
37363adant1r 1233 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
38373expa 1205 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
3938ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> r <Q u )
40 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u <Q ( d +Q p ) )
41 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> ( A +Q x ) = B )
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( A +Q x ) = B )
43 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
4410simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
4544ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> A e. Q. )
4645ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> A e. Q. )
4712ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> B e. Q. )
48 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> p e. Q. )
496ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> x e. Q. )
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 7649 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) )
51 df-3an 982 . . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) <-> ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5229, 50, 51sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5326, 32, 52jca31 309 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
5453ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> ( ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) -> ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) ) )
55542eximdv 1896 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> ( E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) ) )
5620, 55mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
57 r2ex 2517 . . . . 5 |- ( E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) <-> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
5856, 57sylibr 134 . . . 4 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5914, 58rexlimddv 2619 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
604, 59rexlimddv 2619 . 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
612, 60rexlimddv 2619 1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   <.cop 3626   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   Q.cnq 7364   +Q cplq 7366   .Q cmq 7367   <Q cltq 7369   P.cnp 7375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-0nq0 7510  df-plq0 7511  df-mq0 7512  df-inp 7550
This theorem is referenced by:  prmuloc2  7651  mullocpr  7655
  Copyright terms: Public domain W3C validator