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Theorem prmuloc 7933
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
Distinct variable groups:   A, d, u   B, d, u   L, d, u   U, d, u
Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables p r x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7776 . . 3 |- ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )
21adantl 277 . 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )
3 prml 7844 . . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. r e. Q. r e. L )
43ad2antrr 492 . . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) -> E. r e. Q. r e. L )
5 simprl 535 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> r e. Q. )
6 simplrl 541 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> x e. Q. )
7 mulclnq 7743 . . . . . 6 |- ( ( r e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( r .Q x ) e. Q. )
85, 6, 7syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> ( r .Q x ) e. Q. )
9 ltrelnq 7732 . . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
109brel 4827 . . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
1110simprd 114 . . . . . 6 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
1211ad3antlr 497 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> B e. Q. )
13 appdiv0nq 7931 . . . . 5 |- ( ( ( r .Q x ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. p e. Q. ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
148, 12, 13syl2anc 415 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> E. p e. Q. ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
15 prarloc 7870 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1615adantlr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1716adantlr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1817ad2ant2r 513 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
19 r2ex 2570 . . . . . . 7 |- ( E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) <-> E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) )
2018, 19sylib 122 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) )
21 elprnql 7848 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2221adantlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2322adantlr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2423adantlr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2524ad2ant2r 513 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> d e. Q. )
2625adantrr 483 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> d e. Q. )
27 simplll 539 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> <. L , U >. e. P. )
2827ad2antrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> <. L , U >. e. P. )
29 simprl 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( d e. L /\ u e. U ) )
3029simprd 114 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u e. U )
31 elprnqu 7849 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ u e. U ) -> u e. Q. )
3228, 30, 31syl2anc 415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u e. Q. )
33 prltlu 7854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ r e. L /\ u e. U ) -> r <Q u )
34333adant1r 1262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r e. L /\ u e. U ) -> r <Q u )
35343adant2l 1263 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ u e. U ) -> r <Q u )
36353adant3l 1265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
37363adant1r 1262 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
38373expa 1234 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
3938ad2ant2r 513 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> r <Q u )
40 simprr 537 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u <Q ( d +Q p ) )
41 simplrr 542 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> ( A +Q x ) = B )
4241ad2antrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( A +Q x ) = B )
43 simplrr 542 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
4410simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
4544ad3antlr 497 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> A e. Q. )
4645ad2antrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> A e. Q. )
4712ad2antrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> B e. Q. )
48 simplrl 541 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> p e. Q. )
496ad2antrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> x e. Q. )
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 7932 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) )
51 df-3an 1011 . . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) <-> ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5229, 50, 51sylanbrc 421 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5326, 32, 52jca31 309 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
5453ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> ( ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) -> ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) ) )
55542eximdv 1935 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> ( E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) ) )
5620, 55mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
57 r2ex 2570 . . . . 5 |- ( E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) <-> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
5856, 57sylibr 134 . . . 4 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5914, 58rexlimddv 2673 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
604, 59rexlimddv 2673 . 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
612, 60rexlimddv 2673 1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   <.cop 3712   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   Q.cnq 7647   +Q cplq 7649   .Q cmq 7650   <Q cltq 7652   P.cnp 7658
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-enq0 7791  df-nq0 7792  df-0nq0 7793  df-plq0 7794  df-mq0 7795  df-inp 7833
This theorem is used by:  prmuloc2  7934  mullocpr  7938
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