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Theorem prmuloc 7342
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, d, u    B, d, u    L, d, u    U, d, u

Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables  p  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7185 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B )
21adantl 275 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B )
3 prml 7253 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  L )
43ad2antrr 479 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  L
)
5 simprl 505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
r  e.  Q. )
6 simplrl 509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  x  e.  Q. )
7 mulclnq 7152 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( r  .Q  x
)  e.  Q. )
85, 6, 7syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
( r  .Q  x
)  e.  Q. )
9 ltrelnq 7141 . . . . . . . 8  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
109brel 4561 . . . . . . 7  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
1110simprd 113 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
1211ad3antlr 484 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  B  e.  Q. )
13 appdiv0nq 7340 . . . . 5  |-  ( ( ( r  .Q  x
)  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. p  e.  Q.  ( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
148, 12, 13syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  E. p  e.  Q.  ( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
15 prarloc 7279 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  p  e.  Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1615adantlr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  p  e.  Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1716adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  p  e. 
Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1817ad2ant2r 500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
19 r2ex 2432 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p
)  <->  E. d E. u
( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )
2018, 19sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U
)  /\  u  <Q  ( d  +Q  p ) ) )
21 elprnql 7257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2221adantlr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2322adantlr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2423adantlr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2524ad2ant2r 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )  ->  d  e.  Q. )
2625adantrr 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
d  e.  Q. )
27 simplll 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  <. L ,  U >.  e. 
P. )
2827ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  <. L ,  U >.  e. 
P. )
29 simprl 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )
3029simprd 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  e.  U )
31 elprnqu 7258 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  Q. )
3228, 30, 31syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  e.  Q. )
33 prltlu 7263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  r  e.  L  /\  u  e.  U
)  ->  r  <Q  u )
34333adant1r 1194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  e.  L  /\  u  e.  U )  ->  r  <Q  u )
35343adant2l 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  u  e.  U
)  ->  r  <Q  u )
36353adant3l 1197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )  ->  r  <Q  u )
37363adant1r 1194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U )
)  ->  r  <Q  u )
38373expa 1166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U ) )  -> 
r  <Q  u )
3938ad2ant2r 500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
r  <Q  u )
40 simprr 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
41 simplrr 510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
( A  +Q  x
)  =  B )
4241ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( A  +Q  x
)  =  B )
43 simplrr 510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
4410simpld 111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
<Q  B  ->  A  e. 
Q. )
4544ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  A  e.  Q. )
4645ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  A  e.  Q. )
4712ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  B  e.  Q. )
48 simplrl 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  p  e.  Q. )
496ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  x  e.  Q. )
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 7341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )
51 df-3an 949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )  <->  ( (
d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5229, 50, 51sylanbrc 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5326, 32, 52jca31 307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( ( d  e. 
Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
5453ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  -> 
( ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) )  ->  (
( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) ) )
55542eximdv 1838 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  -> 
( E. d E. u ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) ) )
5620, 55mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
57 r2ex 2432 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )  <->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
5856, 57sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5914, 58rexlimddv 2531 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
604, 59rexlimddv 2531 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
612, 60rexlimddv 2531 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   E.wrex 2394   <.cop 3500   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   Q.cnq 7056    +Q cplq 7058    .Q cmq 7059    <Q cltq 7061   P.cnp 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-0nq0 7202  df-plq0 7203  df-mq0 7204  df-inp 7242
This theorem is referenced by:  prmuloc2  7343  mullocpr  7347
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