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Theorem prmuloc 7556
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
Distinct variable groups:   A, d, u   B, d, u   L, d, u   U, d, u
Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables p r x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7399 . . 3 |- ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )
21adantl 277 . 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )
3 prml 7467 . . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. r e. Q. r e. L )
43ad2antrr 488 . . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) -> E. r e. Q. r e. L )
5 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> r e. Q. )
6 simplrl 535 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> x e. Q. )
7 mulclnq 7366 . . . . . 6 |- ( ( r e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( r .Q x ) e. Q. )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> ( r .Q x ) e. Q. )
9 ltrelnq 7355 . . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
109brel 4675 . . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
1110simprd 114 . . . . . 6 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
1211ad3antlr 493 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> B e. Q. )
13 appdiv0nq 7554 . . . . 5 |- ( ( ( r .Q x ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. p e. Q. ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
148, 12, 13syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> E. p e. Q. ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
15 prarloc 7493 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1615adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1716adantlr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ p e. Q. ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
1817ad2ant2r 509 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) )
19 r2ex 2497 . . . . . . 7 |- ( E. d e. L E. u e. U u <Q ( d +Q p ) <-> E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) )
2018, 19sylib 122 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) )
21 elprnql 7471 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2221adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2322adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2423adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ d e. L ) -> d e. Q. )
2524ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> d e. Q. )
2625adantrr 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> d e. Q. )
27 simplll 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> <. L , U >. e. P. )
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> <. L , U >. e. P. )
29 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( d e. L /\ u e. U ) )
3029simprd 114 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u e. U )
31 elprnqu 7472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ u e. U ) -> u e. Q. )
3228, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u e. Q. )
33 prltlu 7477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ r e. L /\ u e. U ) -> r <Q u )
34333adant1r 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r e. L /\ u e. U ) -> r <Q u )
35343adant2l 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ u e. U ) -> r <Q u )
36353adant3l 1234 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
37363adant1r 1231 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
38373expa 1203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( d e. L /\ u e. U ) ) -> r <Q u )
3938ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> r <Q u )
40 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> u <Q ( d +Q p ) )
41 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> ( A +Q x ) = B )
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( A +Q x ) = B )
43 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) )
4410simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
4544ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> A e. Q. )
4645ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> A e. Q. )
4712ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> B e. Q. )
48 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> p e. Q. )
496ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> x e. Q. )
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 7555 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) )
51 df-3an 980 . . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) <-> ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5229, 50, 51sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5326, 32, 52jca31 309 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) /\ ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) ) -> ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
5453ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> ( ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) -> ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) ) )
55542eximdv 1882 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> ( E. d E. u ( ( d e. L /\ u e. U ) /\ u <Q ( d +Q p ) ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) ) )
5620, 55mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
57 r2ex 2497 . . . . 5 |- ( E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) <-> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) ) )
5856, 57sylibr 134 . . . 4 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) /\ ( p e. Q. /\ ( p .Q B ) <Q ( r .Q x ) ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
5914, 58rexlimddv 2599 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) /\ ( r e. Q. /\ r e. L ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
604, 59rexlimddv 2599 . 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ ( A +Q x ) = B ) ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
612, 60rexlimddv 2599 1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. L /\ u e. U /\ ( u .Q A ) <Q ( d .Q B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   <.cop 3594   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   Q.cnq 7270   +Q cplq 7272   .Q cmq 7273   <Q cltq 7275   P.cnp 7281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456
This theorem is referenced by:  prmuloc2  7557  mullocpr  7561
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